作乘积f(5,)△x;(i=1,2,） 并作和S =f(S,)Ax;,i=1记a=max[△xi,△x2,",△x,},如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间[x;-1,x;]上点,怎样的取法，只要当入一→0时,和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数 f(x)在区间[a,bl上的定积分n记为Ef(5)Ax;.. f(x)dx = I =lim-→0i-1
怎样的分法， = = b a f ( x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1
3、存在定理可积的两个充分条件：定理1当函数f(x)在区间[a,bl上连续时，称f(x)在区间[a,b]上可积定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积
可积的两个充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理
4、定积分的性质性质1(" f(x)dx± f' g(x)dx'lf(x)± g(x)]dx=["kf(x)dx = kf" f(x)dx性质2k 为常数)性质3 假设a<<b" f(x)dx= J f(x)dx + f" f(x)dx
4、定积分的性质 b a [ f ( x) g( x)]dx = b a f ( x)dx b a 性质1 g( x)dx = b a b a 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数) b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx 性质3 假设a c b
"1.dx=性质4dx=b-ad性质5如果在区间[a,bl上f(x)≥0,则" f(x)dx ≥ 0(a<b)推论：（1）如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则f" f(x)dx ≤ 'g(x)dx(a<b)["f(x)dx≤ J"1f(x)dx(2)(a<b)
则 ( ) 0 f x dx b a (a b) 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 推论： 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) （2） (a b) dx b a 1 dx b a 性质4 = = b − a
性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b)上的最大值及最小值则m(b-a)≤ [" f(x)dx≤ M(b -a).性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,bl上连续：则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使[" f(x)dx= f()(b-a)(a≤≤b)积分中值公式
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a b) 性质7 (定积分中值定理) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 性质6 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式