f∫(x)=0(g(x)(x>x) 反之不一定成立,例如 xsin=O(x)(x→0) 但是这两个无穷小量不是同阶的 注意:这里的f(x)=0(g(x))与f(x)=0(g(x) (x→x0)和通常的等式是不同的,这两个式子的 右边,本质上只是表示一类函数.例如o(g(x) (x→x)表示g(x)的所有高阶无穷小量的集合 前页】后页)返回
前页 后页 返回 ( ) ( ( )) ( ) . x O g x x x0 f = → 反之不一定成立, 例如 ( ) ( 0) . 1 xsin x = O x x → 但是这两个无穷小量不是同阶的. 注意：这里的 f (x) = o( g(x)) 与 f (x) = O( g(x)) ( ) x → x0 和通常的等式是不同的，这两个式子的 右边，本质上只是表示一类函数．例如 o( g(x)) (x → x0 ) 表示 g(x) 的所有高阶无穷小量的集合．
也就是说,这里的“=”类似e” 4.若lim(xy2=1,则称∫(x)与g(x)为x→x时的 等价无穷小量,记作 f(x)~g(x)(x→>x0) 因为lim3y=1,所以sinx~x(x→0); x→0 因为 lim arctan=1,所以 arctan~x(x→0; x→>0 前页】后页)返回
前页 后页 返回 ( ) ~ ( ) ( ). x g x x x0 f → 1, sin ~ ( 0); sin lim 0 = → → x x x x x x 因为 所以1, arctan ~ ( 0); arctan lim 0 = → → x x x x x x 因为 所以 若 1, 则称 ( ) ( ) 4. lim 0 = → g x f x x x f (x)与 g(x)为 x → x0 时的 等价无穷小量，记作 也就是说，这里的 “=” 类似于 “”
同样还有1-c0sx~x2(x→0). 2 根据等价无穷小量的定义,显然有如下性质: 若f(x)~g(x)(x→x0),g(x)~h(x)(x→x0), 那么∫(x)~h(x)(x→x).这是因为 lim f(x) lim 5(r) c 8(x) lim =1 x>0 h(r) x0 g(x)x>r0 h(x) 前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是,并 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较例如 前页)后页级回
前页 后页 返回 ( 0) . 2 1 1 cos ~ 同样还有 − x x 2 x → 根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质： ( ) ~ ( )( ), ( ) ~ ( )( ), x g x x x0 g x h x x x0 若 f → → 1 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 = = → → → h x g x g x f x h x f x x x x x x x 前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并 ( ) ~ ( )( ) . 0 那么 f x h x x → x 这是因为 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
x与1均为x→+时的无穷小量,却不能 按照前面讨论的方式进行阶的比较这是因为 SIn r x= sinr(x→+) 是一个无界量,并且(2nm)sin(2nm)→>0 下面介绍一个非常有用的定理: 前页】后页)返回
前页 后页 返回 x sin x 与 2 1 x 均为 x → + 时的无穷小量, 却不能 按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为 sin ( ) 1 sin 2 = x x x → + x x x 是一个无界量，并且 ( 2n n π)sin(2 π) 0 . → 下面介绍一个非常有用的定理：