电动力学讲稿·第三章静磁场$2磁标势引子：对于静磁场，引入矢势A，求解静磁场问题变为求解矢势A。但是，矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？复习：静电场之所以能用标势描述，是因为VxE=-OBat对于静电场VxE=0静电场是无旋场SE.di=0可引入标势，它与电场强度满足E=-Vp磁标势的引入aDVxH-J,+at对于静磁场VxH=J不能一般地引入标势。但是，如果选取的空间区域不存在」，，则VxH=0(1)在这样的区域，有SH.di=0(2)可以引入磁标势H=-VPm(3)结论：只能在无传导电流的空间引入磁标势。实际上，（2）式要求，在考察空间中的任何回路都不能链环电流。对于如右图所示的电流环，选择仅仅扣除电流环的空间是不行的，因为，在这样的空间，存在可以链环电流环的回路。考察的空间可以选为扣除曲面S的空间。6
电动力学讲稿●第三章 静磁场 6 §2 磁标势 引子：对于静磁场，引入矢势 A K ，求解静磁场问题变为求解矢势 A K 。 但是，矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？ 复习：静电场之所以能用标势描述，是因为 t B E ∂ ∂ ∇ × = − K K 对于静电场 ∇ × E = 0 K 静电场是无旋场 ∫ ⇒ E ⋅ dl = 0 K K 可引入标势，它与电场强度满足 E = −∇ϕ K 一、 磁标势的引入 t D H J f ∂ ∂ ∇ × = + K K K 对于静磁场 f H J K K ∇ × = 不能一般地引入标势。但是，如果选取的空间区域不存在 f J K ，则 ∇ × H = 0 K （1） 在这样的区域，有 ∫ H ⋅ dl = 0 K K （2） 可以引入磁标势 H = −∇ϕ m K （3） 结论：只能在无传导电流的空间引入磁标势。 实际上，（2）式要求，在考察空间中的任何回 路都不能链环电流。 对于如右图所示的电流环，选择仅仅扣除 电流环的空间是不行的，因为，在这样的空间， 存在可以链环电流环的回路。考察的空间可以 选为扣除曲面 S 的空间
电动力学讲稿·第三章静磁场二、 磁荷由V.B=μoV·(H+M)=0V.H=-V.M定义（假想）磁荷密度Pm=-u.V.M(4)所以V.H-Pm(5)o由H=-Vpm，得V'gm=-Pn(6)o结论：磁标势也满足Poisson方程。三、静电场与静磁场的类比备注静电场静磁场VxE=0VxH=0无旋场是引入标势的前提V.E=Pr+ppV.H-Pm静磁场中没有“自由磁荷”项o60Pp=-V.pPm=-u.V.M“磁荷”来源于介质的磁化D=E+PB=μH+μoME=-VQH=-VPmP,+Pp_PmV?Pm=-V"=-60o讨论：7
电动力学讲稿●第三章 静磁场 7 二、 磁荷 由 ∇ ⋅ B = 0∇ ⋅(H + M ) = 0 K K K μ H M K K ⇒ ∇ ⋅ = −∇ ⋅ 定义（假想）磁荷密度 m M K ≡ − ∇ ⋅ ρ μ 0 （4） 所以 μ 0 ρ m ∇ ⋅ H = K （5） 由 H = −∇ϕ m K ，得 0 2 μ ρ ϕ m ∇ m = − （6） 结论：磁标势也满足 Poisson 方程。 三、 静电场与静磁场的类比 静 电 场 静 磁 场 备注 ∇ × E = 0 K ∇ × H = 0 K 无旋场是引入标势的前提 0 ε ρ f ρ P E + ∇ ⋅ = K μ 0 ρ m ∇ ⋅ H = K 静磁场中没有“自由磁荷”项 P P G ρ = −∇ ⋅ m M K = − ∇ ⋅ ρ μ 0 “磁荷”来源于介质的磁化 D E P G G G = ε 0 + B H M K K K = μ 0 + μ 0 E = −∇ϕ G H = −∇ϕ m K 0 2 ε ρ ρ ϕ f + P ∇ = − 0 2 μ ρ ϕ m ∇ m = − 讨论：
电动力学讲稿·第三章静磁场1）关于磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。但是，B=μH对于线形磁介质成立，不能用于铁磁介质（如磁铁），此时B不是H的单值函数（磁滞回线），B与H的关系由磁化过程决定。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。2）磁化（可以认为）是介质中分子电流环形成规则排列。把分子电流环等价为磁偶极子，这种磁偶极子磁荷间距离趋于0，，不能用任何面分开磁荷（否则存在磁单极子）。3）介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。Ex.11（P.109）Ex.2(P. 110)Ex.3(P.112)8
电动力学讲稿●第三章 静磁场 8 1） 关于磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。但是， B H K K = μ 对于线形磁介质成 立，不能用于铁磁介质（如磁铁），此时 B K 不是 H G 的单值函数（磁滞回线）， B K 与 H G 的 关系由磁化过程决定。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。 2） 磁化（可以认为）是介质中分子电流环形成规则排列。把分子电流环等价为磁偶极子， 这种磁偶极子磁荷间距离趋于 0，.不能用任何面分开磁荷（否则存在磁单极子）。 3） 介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。 Ex. 1 （P. 109） Ex. 2 （P. 110） Ex. 3 （P. 112）
电动力学讲稿●第三章静磁场$3磁多极矩研究对象：空间局部分布的电流在远处所激发的磁场。引子：前面研究了分布在有限（局部）空间的电荷在空间激发的电场的电势·带电系统二点电荷十电偶极子+电四极子十带电系统：总电量一一点电荷描述，电荷分布一一电多极子描述不同的电荷分布，其电多极矩可能是不本Z相同的，电多极矩甚至依赖于坐标系的选取。r矢势的多极展开、7R静磁场的矢势0才()=[)dv(7)Y4元rKr=反-刘，设区域限度远小于R，有X国>例，可将三展开，利用公式4a2(-)=()-*f(x)+xf(x) +..ax,2!ax,axiij1双为小量，展开二，有rA()= 4[) av4元a2:11-*v!+-[J(x)dv(8)x,xj+...R21jxaxR4元R= A() ()+ A (x) + A(2) () +..·展开式第一项A0)()=[(d4元R激发静磁场的必须是恒定电流，由电流的连续性方程（电荷守恒定律）P+V.j=0at对于恒定电流V.J=0电流密度在空间任意点的散度为0，意味着所有电流均形成闭合“电流管”，由于积分区域要包含所有电流，所以所有电流管均在积分区间内。9
电动力学讲稿●第三章 静磁场 9 §3 磁多极矩 研究对象：空间局部分布的电流在远处所激发的磁场。 引子：前面研究了分布在有限(局部)空间的电荷在空间激发的电场的电势。 z 带电系统 ＝ 点电荷 ＋ 电偶极子 ＋ 电四极子＋ . z 带电系统：总电量——点电荷描述，电荷分布——电多极子描述 z 不同的电荷分布，其电多极矩可能是不 相同的，电多极矩甚至依赖于坐标系的选 取。 一、 矢势的多极展开 静磁场的矢势 ∫ = ' ' 0 ( ) 4 ( ) dV r J x A x K K K K π μ (7) r x x' G G = − ，设区域限度远小于 R ，有 x x' G G >> ，可将 r 1 展开，利用公式 ' ' ( ) . 2! 1 ( ) ( ) ' ( ) 2 + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ′ = −∑ ∑ i j i i j i i i f x x x f x x x x f x x f x x K K K K K x' G 为小量，展开 r 1 ，有 ( ) ( ) ( ) . . 1 ' ' 2! 1 1 1 ( ) 4 ( ) 4 ( ) (0) (1) (2) ' 2 0 ' ' ' 0 = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∂ = − ′ ⋅∇ + = ∫ ∑ ∫ A x A x A x dV x x R x x R x R J x dV r J x A x ij i j i j K K K K K K K K K K K K K π μ π μ （8） z 展开式第一项 ( ) ' 4 ( ) (0) 0 J x dV R A x ∫ = ′ K K K K π μ 激发静磁场的必须是恒定电流，由电流的连续性方程（电荷守恒定律） + ∇ ⋅ = 0 ∂ ∂ J t ρ K 对于恒定电流 ∇⋅ J = 0 K 电流密度在空间任意点的散度为 0，意味着所有电流均形成闭合“电流管”，由于积分区域 要包含所有电流，所以所有电流管均在积分区间内