例1.求圆柱螺旋线x= Rcos o,y=Rsin,z=k在 0=2对应点处的切线方程和法平面方程 解:由于x=-Rsin,y= Rcos o,z=k,当=翌时, 对应的切向量为T=(-R,0,k),故 k Mo(0.R.k 切线方程 x R R 0 k 即 kx+rz-RK=O y-R=0 法平面方程-Rx+k(-k)=0 即 Rx-kz+ik=o x y HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k = 即 − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk 即 解: 由于 0 y − R k z k 2 − = (0, , ) 0 2 M R k 对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k = 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (−R, 0, k) , 故
2曲线为一般式的情况 光滑曲线 F(x,y,2z)=0 IG(x, 3, 2)=0 当 0(B)≠0时,r可表示为y=9(x),且有 0(F,G y(x) dy l a(f,g dz 1 a(F,G X dx j az,x) dx a(r,y) 曲线上一点M(x0,y,2)处的切向量为y2 7={1,g(x),v(x)} 1O(F,G)10(F,G (=,x)M(①(x,y)M HIGH EDUCATION PRESS ◎令90@ 机动目录上页下页返回结束
2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 当 0 ( , ) ( , ) = y z F G J = x y d d 曲线上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z , 且有 = x z d d , ( , ) 1 ( , ) z x F G J , ( , ) 1 ( , ) x y F G J 时, 可表示为 处的切向量为 = M x y M F G z x J F G J ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = 1,(x0 ),(x0 )
或7=(F,G) 0(F,G 0(F,G a(,2)Ma(2,x)Ma(,y)M 则在点M(x02y,= X-x 切线方程 y=yO OFG a(F,G O(F,G) a(, z)M a(z, x)M a(x, y)M 法平面方程 O(F,G) OF, G) (x-x0)+a(,x)M (y-y0 O(F,G) (z-20)=0 a(x, y)M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 0 0 x x y y z − z = − = − y z M F G ( , ) ( , ) 则在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 切线方程 法平面方程 有 y z M F G ( , ) ( , ) z x M F G ( , ) ( , ) x y M F G ( , ) ( , ) ( ) 0 x − x x y M F G ( , ) ( , ) + z x M F G ( , ) ( , ) + ( ) 0 y − y (z − z0 ) = 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = M M x y M F G z x F G y z F G T ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
法平面方程 OF,G aF,G M (y-yo OF,G M (z-20)=0 (x,y) 也可表为 xo y-yo F(M)F(M)F2(M)|=0 GM)G(M G(M HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = − − − G M G M G M F M F M F M x x y y z z x y z x y z 也可表为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 y y z x M F G x x y z M F G − − + 法平面方程 ( ) 0 ( , ) ( , ) − 0 = + z z x y M F G 机动 目录 上页 下页 返回 结束