暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法直接利用无穷积分的定义可以证明+8d当p>1时(α > 0) 收敛,acp+dc当p<1时(α >0) 发散.apa对于一个在[a,+o）上连续的函数f(c)，将它与比较，可得1°若对充分大的α,有If(α)/%，>1,C为常数，则+αf(a)da绝对收敛2°若对充分大的α,有f(α）≥%，p≤1,C为正常数+f(a)dac(a>0)发散a返回全屏关闭退出-6/36
áȩ ÜOK 1È©¥½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© |^áȩ½Â±y² p > 1 Z +∞ a dx xp (a > 0) Âñ, p 6 1 Z +∞ a dx xp (a > 0) uÑ. éu3 [a, +∞) þëY¼ê f(x), ò§ 1 xp ', 1 ◦ eé¿© x, k |f(x)| 6 C xp , p > 1, C ~ê, K Z +∞ a f(x)dx ýéÂñ. 2 ◦ eé¿© x, k f(x) > C xp , p 6 1, C ~ê, Z +∞ a f(x)dx (a > 0) uÑ. 6/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法定理5（Cauchy判别法）如果f(c）在[1,+oo）上有定义的非负且单调减少函数,那么积分J+f(ac)da与级数n=f(n)同敛散证明由f(α）的单调性可知，当k≤≤k+1时有f(k+1)≤f(α)<f(k),于是ck+1f(k+1)≤f(c)da ≤ f(k).k将上述不等式对k=1,2,..，n相加，就得知，对任何nEN有n+1en+1f(k) ≤f(a)da≤ f(k).11k=2k=1若+f(a)dc收敛，则由上式左半可知n-f(k）有界，因而=f(n）收敛.若+fc）dc发散则由上式右半可知h=f(k）无界，故n=f(n）发散.证毕返回全屏关闭退出+7/36
áȩ ÜOK 1È©¥½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ½n 5 (Cauchy O{) XJ f(x) 3 [1, +∞) þk½ÂK üN~ ¼ê, @oÈ© R +∞ 1 f(x) dx ?ê P∞ n=1 f(n) ÓñÑ. y² d f(x) üN5, k 6 x 6 k + 1 k f(k + 1) 6 f(x) 6 f(k), u´ f(k + 1) 6 Z k+1 k f(x)dx 6 f(k). òþãØ ªé k = 1, 2, · · · , n \, Ò, é?Û n ∈ N k X n+1 k=2 f(k) 6 Z n+1 1 f(x)dx 6 X n k=1 f(k). e R +∞ 1 f(x)dx Âñ, Kdþª Pn+1 k=2 f(k) k., Ï P∞ n=1 f(n)  ñ. e R +∞ 1 f(x)dx uÑ, Kdþªm Pn k=1 f(k) Ã., P∞ n=1 f(n) uÑ. y. 7/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法例1证明存在[0,+o）上的正值函数f(α)使得FOf(α) daJo收敛，但对任意正数p1,(f(α))P daJo发散证明 若 p< 1, 则令 β = p. 若 p> 1, 则令 β= 2 -p. 总有 0 < β< 1.取数列 an E (0,), n = 1,2,··,使得88Zaeak= a< +8,+8.k=1k=1这样的数列是存在的，如1ann(ln(n + 4)21I返回全屏关闭退出8/36
áȩ ÜOK 1È©¥½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ~ 1 y²3 [0, +∞) þ¼ê f(x) ¦ Z +∞ 0 f(x) dx Âñ, é?¿ê p 6= 1, Z +∞ 0 (f(x))p dx uÑ. y² e p < 1, K- β = p. e p > 1, K- β = 2 − p. ok 0 < β < 1. ê an ∈ (0, 1 2 ), n = 1, 2, · · · , ¦ X ∞ k=1 ak = a < +∞, X ∞ k=1 a β k = +∞. ùê´3, X an = 1 n(ln(n + 4))2 . 8/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法构造函数 f(α)如下:当 E [n -1,n) 时a2n-1<c<n-anf(α) =1n-a,<a<n.an显然有nf(α) dc = an(1 - az) + an < 2an,因而 +αf(α)dc 收敛。又rn-a,onn1(f(α))P d =apdadc +na anJn-1n21ap(112-Papan12１32由此可知 f+α(f(α)Pdac 发散返回全屏关闭退出I49/36
áȩ ÜOK 1È©¥½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© E¼ê f(x) Xe: x ∈ [n − 1, n) , f(x) = an, n − 1 6 x < n − a 2 n , 1 an , n − a 2 n 6 x < n. w,k Z n n−1 f(x) dx = an(1 − a 2 n ) + an < 2an, Ï R +∞ 0 f(x) dx Âñ. q Z n n−1 (f(x))p dx = Z n−a 2 n n−1 a p n dx + Z n n−a2 n 1 a p n dx = a p n (1 − a 2 n ) + a 2−p n > 1 2 a p n + a 2−p n > 1 2 a β n . dd R +∞ 0 (f(x))p dx uÑ. 9/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法暇积分+fxsinccOsrda和例 2 设p>1, 则da绝对收敛cp&p1+8e-"dc收敛例3对任意非负实数aJ1证明月由于lim °e-= 0,2→+故当&充分大时有~e-=~e-e-<e-.tx由e-da的收敛性就可推知原积分的收敛性返回全屏关闭退出?10/36
áȩ ÜOK 1È©¥½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ~ 2 p > 1, K Z +∞ 1 sin x xp dx Ú Z +∞ 1 cos x xp dx ýéÂñ. ~ 3 é?¿K¢ê α, Z +∞ 1 x αe −xdx Âñ. y² du lim x→+∞ x αe −x 2 = 0, x ¿©k x αe −x = x αe −x 2e −x 2 < e−x 2 . d Z +∞ 1 e −x 2dx Âñ5ÒíÈ©Âñ5. 10/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ