曲线定向性质Green公式第二型曲线积分$11.3第二型曲线积分向量场11.3.1定义1区域DCR3上的一个向量值函数F(c, y,z) = (P(α, y, z), Q(α, y, z), R(α, y, z), (α, y, z) E D称为一个向量场物理中的流速场，引力场，电场，磁场等，在数学上都是向量场若 f(c,y,)是区域 D上的可微函数,则af af afgrad f =Oc'oyQz称为f的梯度场返回全屏关闭退出I1/32
½ 1.È© 5 Green úª §11.3 1.È© 11.3.1 þ| ½Â 1 « D ⊂ R3 þþ¼ê F~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (x, y, z) ∈ D ¡þ|. Ôn¥6|, Úå|, >|, ^| , 3êÆþÑ´þ|. e f(x, y, z) ´« D þ¼ê, K grad f = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ¡ f FÝ|. 1/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
性质Green公式曲线定向第二型曲线积分定向曲线11.3.2设空间中一条曲线L的两个端点为A和B，若为L指定一个运动的方向从A到B，或从B到A，则L就成为一条有向曲线.方向指定为从A到B时，A称为起点.B称为终点.反之.方向指定为从B到A时.B称为起点，A称为终点.确定了一个方向为正向时，相反的方向就为负向BA返回全屏关闭退出II2/32
½ 1.È© 5 Green úª 11.3.2 ½ m¥^ L üà: A Ú B. e L ½$Ä l A B, ½l B A, K L Ò¤^k. ½l A B , A ¡å:, B ¡ª:. , ½l B A , B ¡å :, A ¡ª:. (½ , ÒK. A B A B 2/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
性质Green公式曲线定向第二型曲线积分当L有一个参数表示时L: r(t) = (c(t),y(t),z(t), α<t <βL就有一个自然的方向，即参数增加的方向.此时(α）为起点(β)为终点通常将此方向作为正向.如果(t)是连续可微的，且(t)不为零向量，那么称(t)称为光滑曲线.这时，(t)就表示参数增加的方向如果L为Ocy平面上一条Jordan闭曲线,则习惯上将逆时针方向作为正向，此时，在曲线上行走时，曲线所围的区域在行人的左边O返回全屏关闭退出3/32
½ 1.È© 5 Green úª L këêL« L : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α 6 t 6 β L Òkg,, =ëêO\. d ~r(α) å:, ~r(β) ª:. Ï~òd. XJ ~r(t) ´ëY, ~r0 (t) Ø"þ, @o ¡ ~r(t) ¡1w. ù, ~r0 (t) ÒL«ëêO\. XJ L Oxy ²¡þ^ Jordan 4, KS.þò_ . d, 3þ1r, ¤«31<>. O x y 3/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
性质Green公式曲线定向第二型曲线积分第二型曲线积分11.3.3设空间中有一个力场F=(P,Q,R).求质点在F的作用下沿曲线L从一端 A 运动到另一端 B 所做的功在 L上从 A到 B顺序取分点 A= Mo,Mi,···，Mn = B.小曲线段Li=Mi-1M,可近似看成有向直线段M,-iM;=△ri.在Li上F近似于一个常力F.这样，质点在L，运动所做的功近似等于2F,.Ar.i=1当分割无限加密时，若上述和式有极B限：则此极限就是质点沿曲线L从一M端A运动到另一端B所做的功返回全屏关闭退出4/32
½ 1.È© 5 Green úª 11.3.3 1.È© m¥kå| F~ = (P, Q, R). ¦:3 F~ ^e÷ L l à A $Ä,à B ¤õ. 3 L þl A B ^S©: A = M0, M1, · · · , Mn = B. ã Li = ) Mi−1Mi Cqw¤kã Mi−1Mi = ∆~ri. 3 Li þ F~ Cqu ~å F~i . ù, :3 Li $ĤõCq u X n i=1 F~i · ∆~ri. ©Ã\, eþãÚªk4 , Kd4Ò´:÷ L l à A $Ä,à B ¤õ. A B Mi-1 Mi 4/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
性质曲线定向第二型曲线积分Green公式定义2设F=（P,Q，R）是空间区域D中一个向量场L是D中一条可求长的有向曲线，起点为A终点为B.在L上依次从A到B的方向顺序取点 {ri：i=0,1,..·,n) 使得ro = A,rn= B.令Ar, = ri - ri-1, i = 1, 2, ..·, n, IlTll= max [Aril.如果对于弧段ri-1ri上任取的点i，极限nli,Z F(si) . ArITI→0i=1为一个固定的数，则将此数记为F.dr(11.1)V称为向量场F沿有向曲线L的第二型曲线积分若L是有向封闭曲线，则上面的积分也称为向量场F沿环路L的环量常用dF.dr表示返回全屏关闭退出二5/32
½ 1.È© 5 Green úª ½Â 2 F~ = (P, Q, R) ´m« D ¥þ|. L ´ D ¥^ ¦k, å: A ª: B. 3 L þgl A B ^S : {~ri : i = 0, 1, · · · , n} ¦ ~r0 = A, ~rn = B. - ∆~ri = ~ri − ~ri−1, i = 1, 2, · · · , n, kT k = max 16i6n |∆~ri|. XJéulã ) ri−1ri þ?: ξi, 4 lim kT k→0 X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri ½ê, KòdêP Z L F~ · d~r (11.1) ¡þ| F~ ÷k L 1.È©. e L ´kµ4, Kþ¡È©¡þ| F~ ÷´ L þ, ~^ H L F~ · d~r L«. 5/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ