二、均方积分准则 定理4.5.1 设{X(t),t∈[4，b}是二阶矩过程， t)是普通函数，ft)X(t)在[4，b]上均方可积 的充分必要条件是二重积分 ∫∫fs)fm)Rs,)kd 存在，其中R(S,)是X(t)的自相关函数. 电子科技大学
电子科技大学 二、均方积分准则 设{X(t),t∈[a, b]}是二阶矩过程, f(t)是普通函数, f(t)X(t)在[a, b]上均方可积 的充分必要条件是二重积分 定理4.5.1 b a b a f (s) f (t)R(s,t)dsdt 存在, 其中R(s,t)是X(t)的自相关函数
证充分性若f(s)f(t)R(s,t)的二重积分存在， 对[4，b]X[4,]的任意分割 =t<41<t,=b,=S0<S1<Sm=b及任意 (Sk,t分)∈(k-1,5k]×(j-1,tjl(k=1,2,…,m,j=1,2,…,m） 有 ∫f(s)foR(s,)dsdt m =lIim∑∑f(sA)f()R(s,t)△sx△t A→0 △ty0k=1j=1 电子科技大学
电子科技大学 证 充分性若f (s) f (t)R(s,t) 的二重积分存在, 对[a, b]×[a, b]的任意分割 a=t0< t1 …< tn =b, a=s0< s1 …< sm =b及任意 ( , ) ( , ] ( , ], ( 1,2, , , 1,2, , ) 1 1 * * sk t j sk sk t j t j k m j n b a b a 有 f (s) f (t)R(s,t)dsdt m k n j k j k j k j t s f s f t R s t s t 1 1 * * * * 0 0 lim ( ) ( ) ( , )
存在，其中 △S= max△Sk,ASk=Sk一Sk-】 1≤k≤m △t=max△tj,△4Ft-4-1) l≤j≤n 上式= im∑∑ELfs)X(s)f(t)X(t)IAs△t; △s-→0 △t-→0 k=1j=1 m n = lim △5-→0 ∑∑EIfS)X(s)AfG)X()△，l △t-0k=1j=1 电子科技大学
电子科技大学 存在,其中 Δsk =sk－sk－1 max , 1 k k m s S max , 1 j j n t t Δt j =t j－t j－1 , m k n j k k j j k j t s E f s X s f t X t s t 1 1 * * * * 0 0 上式 lim [ ( ) ( ) ( ) ( )] m k n j k k k j j j t s E f s X s s f t X t t 1 1 * * * * 0 0 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
imE∑fs)X(s)△∑fE)X()△t,l = △s→0 △t-→0 k=1 由均方收敛准则知 1i.m∑f()X(t)At& △-→0 k=1 存在，即t)X(t)在[4，b上均方可积. 必要性 由洛易夫判别准则，若均方积分 f(t)X(t)dt 存在，则下列极限存在，且 电子科技大学
电子科技大学 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 * * 1 * * 0 0 n j j j j m k k k k t s E f s X s s f t X t t 由均方收敛准则知 n k k k k f t X t t 1 * * 0 l.i.m ( ) ( ) 存在，即f( t )X( t )在[a, b]上均方可积. 必要性 由洛易夫判别准则, 若均方积分 b a f (t)X(t)dt 存在, 则下列极限存在, 且
imE∑fs)Xs)△s:∑fG)X)△t】 △s-→0 △t→0 k=1 =E到心fs)X(s)s心f)X(0d 仁ag7oo =心fsf0EX(s)xkd =∫fs)fors,t)sM 电子科技大学
电子科技大学 lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 * * 1 * * 0 0 n j j j j m k k k k t s E f s X s s f t X t t [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] b a b a E f s X s ds f t X t dt b a b a f (s) f (t)E[X(s)X(t)]dsdt b a b a f (s) f (t)R(s,t)dsdt ( [ ( ) ( ) ]) 2 b a E f t X t dt