解答提示: P257题2.判别下列级数的敛散性 n cos- nz 3)∑ n√n 2 n=1 (5)∑(a>0,s>0) SiNn 提示:(1)∵limn=1,∨E>0,3N,当n>N时,有 n→00 1-E<n<1+E nn n(1+8) 因调和级数发散,据比较判别法,原级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解答提示: P257 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) lim =1, → n n n 1− 1+ n n 因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 . 0 , N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 利用比值判别法,可知原级数发散 2n n cos nz用比值法,可判断级数∑收敛, n-1 再由比较法可知原级数收敛 10 n n 因n充分大时<0∑发散 n n 原级数发散 1= (5)2。(a>0,>0)用比值判别法可知 h=1 a<1时收敛;a>1时发散 s>1时收敛 a=1时,与p级数比较可知 s≤1时发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 , ln 1 1 10 n n ∴原级数发散 . : 2 cos (3) 1 3 2 n= n n n (5) ( 0, 0): 1 = a s n a n s n 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . s 1 a 1 a 1 时发散. a =1 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题3设正项级数∑n和∑都收敛证明级数 n-1 n=1 ∑(n+vn)也收敛 n=1 提示:因inan= lim y=0,存在N>0,当n>N时 n→) n→>00 u<u n n 又因 (un+vn)<2(un +v,)<2(un+Vn)(n>N) 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P257 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题4设级数∑ln收敛,且limn=1,问级数 n→>00LL ∑v是否也收敛?说明理由 提示对正项级数由比较判别法可知∑vn收敛 但对任意项级数却不一定收敛.例如,取 (-1),1 lim n=1+ lim (-1) n→>0LL n→)0 级数∑n收敛,级数∑vn发散 =1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P257 题4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , n n n u v → lim 收敛, 级数 发散 . n n n ( 1) 1 lim − = + → =1 例如, 取 n n v n n ( 1) 1 + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题5讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑(-1) (2)∑(-1)+1S1 1= (3)∑(-)ylnn+1 (4)∑(-ny(n+ n+1 提示:(1)P>1时,绝对收敛 0<p<1时条件收鲛; p≤O时,发散 (2)因各项取绝对值后所得强级数∑n收敛,故 原级数绝对收敛 n=1 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
; 1 (3) ( 1) ln 1 = + − n n n n P257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ; sin (2) ( 1) 1 1 1 1 = + + + − n n n n 提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 1 1 收敛 = + n n