《高等代数研究》课程教学资源（书籍文献）中国科学技术大学出版社，線性代數，1989

W51.1整数环与数域 ·3 (M1)乘法结合律 a(bc)=(ab)c; (M2)乘法交换律 ab=ba; (M3)存在单位元素R中存在一个元素，它称为单位元素，记为1，使得 al=1a (D)加乘分配律 a(b+c)-ab+ac. 则集合R称为交换环 容易验证，整数系是个交换环，它称为整数环，记为2另外，有理数系，实数 系与复数系也都是交换环，它们都是复数系的子集合 凡复数系的子集合，如果对复数的加法与乘法成为交换环，则称为数环 应当指出，有理数系，实数系和复数系的乘法运算所具有的性质有些是和整数 环的乘法性质不同的.例如，在整数环中，对于非零整数共士1不存在整数五，使得 ab=ba=1;但在实数环中，对于非零实数a,+定存在实数b使得ab ba1.为 区别起见，引进以下的定义 定义112设F是至少有两个元素的交换环.如果对宇过中每个非零元素 a,存在元素b∈F,使得ab=ba=l,则b称为a的逆元素，记作 心这时交换环 称为域 例如，有理数系，实数系与复数系都是域，它们依次称为有理数域，实数域与复 数域，并依次记为Q,R和C, 如果复数域口的子集合F对复数的加法与乘法成为个域则称为数域 可以验证，复数域的子集合 Q[v2]=ta+bv2la.beeyr 对复数的加法与乘法成为一个域，所以，Q[2]是一个数域 习题1.1 1.记Q[Vj,abeQ验证Q[是数减 2记ZV44b2验证不3]提数环Va]是数城吗 3.设F是数域，a,6和是中的任老守个元素，证明下列性质成立。 (山如果a+b=a+c,则外 (2)定义a-b=a+(-b),则a+(b-a)=b: 3】d0=0a=0: (4)(-1)a=-a: (⑤)如果ab=0,则a=0,或b=0 4.设F是所有有序实数对(a,b)的集合，其中a,b∈R. ()如果集合了的加法与乘法分别定义为 (a,b)+(c,d)=(a+c.b+d),(a.b)(c,d)=(ac,bd)

´ §1.1 整数环与数域 ⋅ 3 ⋅ (M1) 乘法结合律 a(bc) = (ab)c； (M2) 乘法交换律 ab = ba； (M3) 存在单位元素 R 中存在一个元素，它称为单位元素，记为 ，使得 a = a = a； (D) 加乘分配律 a(b + c) = ab + ac， 则集合 R 称为交换环． 容易验证，整数系是一个交换环，它称为整数环，记为 Z．另外，有理数系，实数 系与复数系也都是交换环，它们都是复数系的子集合． 凡复数系的子集合，如果对复数的加法与乘法成为交换环，则称为数环． 应当指出，有理数系，实数系和复数系的乘法运算所具有的性质有些是和整数 环的乘法性质不同的．例如，在整数环中，对于非零整数 a ≠ ±，不存在整数 b，使得 ab = ba = ；但在实数环中，对于非零实数 a，一定存在实数 b，使得 ab = ba = ．为 区别起见，引进以下的定义． 定义 1.1.2 设 F 是至少有两个元素的交换环．如果对于 F 中每个非零元素 a，存在元素 b ∈ F，使得 ab = ba = ，则 b 称为 a 的逆元素，记作 a −．这时交换环 F 称为域． 例如，有理数系，实数系与复数系都是域，它们依次称为有理数域，实数域与复 数域，并依次记为 Q，R 和 C． 如果复数域 C 的子集合 F 对复数的加法与乘法成为一个域，则 F 称为数域． 可以验证，复数域的子集合 Q[ √  ] = {a + b √  ∣ a， b ∈ Q} 对复数的加法与乘法成为一个域，所以，Q[ √  ] 是一个数域． 习 题 1.1 1. 记 Q[ √  ] = {a + b √  ∣ a， b ∈ Q}．验证 Q[ √  ] 是数域． 2. 记 Z[ √  ] = {a + b √  ∣ a， b ∈ Z}．验证 Z[ √  ] 是数环．Z[ √  ] 是数域吗？ 3. 设 F 是数域，a， b 和 c 是 F 中的任意三个元素，证明下列性质成立． (1) 如果 a + b = a + c，则 b = c； (2) 定义 a − b = a + (−b)，则 a + (b − a) = b； (3) a = a = ； (4) (−)a = −a； (5) 如果 ab = ，则 a = ，或 b = ． 4. 设 F 是所有有序实数对 (a， b) 的集合，其中 a， b ∈ R． (1) 如果集合 F 的加法与乘法分别定义为 (a， b) + (c， d) = (a + c， b + d)， (a， b)(c， d) = (ac， bd)

4 第一章多项式州 那么F是否成为域 (2)如果F的加法与乘法分别定义为 (a,b)+(c,d)=(a+c.b+d).(a.b)(c,d)=(ac-bd.ad+bc). 那么F是否成为域 (3)如果F表示所有有序复数对的集合：加法与乘法仍如(1)与(2)那样规定，结论又怎样？ 5.证明，在交换环的定义中，如果除加法交换律外，其它公理都假定成立，则可以推出加法 交换律也成立。换句话说，在交换环的定义中加法交换律这一公理可以去掉， §1.20 元多项式环 在中学里，我们遇到过一次方程与上次方程，它们可以从两方面推广.一方面 从次数推，即推广为3次，4次以至次的方程：另一方面从系数所属的范围推 广由11可以看到，系数所属的实数域可以推广为其它的数域.这就引出以下 的定义 定义12设是数域是未定元a.aeF,a0,n是非负整数 称为数域上的一元多项式，数域武上的一元多项式f(x)的全体所成的集合记为 F[x其中ax称为多项式x)的i次项，数m称为f(x)的i次项系数 特别地。称为的常数项，x称为)的首项（或最高次项），a:称为 f(x)的首项系数如果a1则f(x)称为首一多项式 非负整数n称为f)的次数，记为degf八(x). 如果多项式f()的系数全为零，则(x)称为零多项式，这时仍记为0.约定 零多项式的次数为注意，零次多项式不是零多项式.有时也称零次多项式为 纯量多项式 如果述定义中，把数域F改成数环，则f(x)称为数环F上的 元多项式，其 它的规定是相同的 设 f()=nx +.+axta an0 是数域F上的两个多项式.如果∫与g(勾适合Q60,12则f(与 g(x)称为相等，记为f(x)=g(x) 多项式f(x)与g(x)的和f(x)+g(x)定义为多项式 (a0+bo)+(a+b)x+(a2+b2)x2+ 即多项式f(x)+g(x)的i次项系数为a+b,i=1,2,.其中当n≥m时，约定g(x)

⋅ 4 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ 那么 F 是否成为域？ (2) 如果 F 的加法与乘法分别定义为 (a， b) + (c， d) = (a + c， b + d)， (a， b)(c， d) = (ac − bd， ad + bc)， 那么 F 是否成为域？ (3) 如果 F 表示所有有序复数对的集合；加法与乘法仍如 (1) 与 (2) 那样规定，结论又怎样？ 5. 证明，在交换环的定义中，如果除加法交换律外，其它公理都假定成立，则可以推出加法 交换律也成立．换句话说，在交换环的定义中，加法交换律这一公理可以去掉． §1.2 一元多项式环 在中学里，我们遇到过一次方程与二次方程，它们可以从两方面推广．一方面 从次数推广，即推广为  次， 次以至 n 次的方程；另一方面从系数所属的范围推 广．由 §1.1 可以看到，系数所属的实数域可以推广为其它的数域．这就引出以下 的定义． 定义 1.2.1 设 F 是数域，x 是未定元，a， a， . . . ， an ∈ F，an ≠ ，n 是非负整数． 则 f (x) = an x n + an−x n− + ⋯ + ax + a 称为数域 F 上的一元多项式，数域 F 上的一元多项式 f (x) 的全体所成的集合记为 F[x]．其中 aix i 称为多项式 f (x) 的 i 次项，数 ai 称为 f (x) 的 i 次项系数． 特别地，a 称为 f (x) 的常数项，an x n 称为 f (x) 的首项（或最高次项），an 称为 f (x) 的首项系数．如果 an = ，则 f (x) 称为首一多项式． 非负整数 n 称为 f (x) 的次数，记为 deg f (x)． 如果多项式 f (x) 的系数全为零，则 f (x) 称为零多项式，这时仍记为 ．约定 零多项式的次数为 −∞．注意，零次多项式不是零多项式．有时也称零次多项式为 纯量多项式． 如果上述定义中，把数域 F 改成数环，则 f (x) 称为数环 F 上的一元多项式，其 它的规定是相同的． 设 f (x) = an x n + an−x n− + ⋯ + ax + a， an ≠ ； g(x) = bmx m + bm−x n− + ⋯ + bx + b， bm ≠  是数域 F 上的两个多项式．如果 f (x) 与 g(x) 适合 ai = bi，i = ，， ， . . . ，则 f (x) 与 g(x) 称为相等，记为 f (x) = g(x)． 多项式 f (x) 与 g(x) 的和 f (x) + g(x) 定义为多项式 (a + b) + (a + b)x + (a + b)x  + ⋯， 即多项式 f (x)+g(x) 的 i 次项系数为 ai +bi，i = ， ， . . . ．其中当 n ⩾ m 时，约定 g(x)

451.2一元多项式环 ·5 的系数bm,bm2,.,bn都为零，而当n<m时，约定f(x)的系数an,am+2,am 都为零.于是便定义了多项式的加法.容易看出， deg(f(x)+g(x)）≤max{degf(x),degg(x)} 容易验证，多项式的加法满足以下公理.设多项式f(x),g(x),h(x)∈F[x],则 (A1)加法结合律 A (f(x)+g(x)月h(x f)+(g(x)法h(x): (A2)加法交换律 f()g(x)-g(x)f(x): (A3)存在零元素 即存在零多项式0ex,使得 f(x)+0=0+fx)=f (A4)存在负元素对每个多项式 f(x)=anx"+an- “+x+a 都存在多项式 -f(x)=-anx" 它称为多项式f(x)的负多项式，使得 f(x)+(-f(x)=（-f(x)+fx)=0. 对于F[x)]中两个多项式f(x)和g(x),其乘积x)x)定义为 f(x)g(x)= co. 其中 Cm+m三 anbm, Cn+m-1 anbm-1+an-ibm c=∑ab, +k=1 co=aobo. 于是规定了多项式的乘法因为0，b夫0，故b 0所以 deg(f()g(x))=deg f()+degg(x). 容易验证，多项式的乘法适合以下的公理.设f(x),g(x),h(x)∈F[x],则 (M1)乘法结合律 f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x); (M2)乘法交换律 f(x)g(x)=g(x)f(x); (M3)存在单位元素即存在纯量多项式e(x)=1,使得

´ §1.2 一元多项式环 ⋅ 5 ⋅ 的系数 bm+， bm+， . . . ， bn 都为零，而当 n < m 时，约定 f (x) 的系数 an+， an+， . . . ， am 都为零．于是便定义了多项式的加法．容易看出， deg( f (x) + g(x)) ⩽ max{deg f (x)， deg g(x)}． 容易验证，多项式的加法满足以下公理．设多项式 f (x)， g(x)， h(x) ∈ F[x]，则 (A1) 加法结合律 ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x))； (A2) 加法交换律 f (x) + g(x) = g(x) + f (x)； (A3) 存在零元素 即存在零多项式  ∈ F[x]，使得 f (x) +  =  + f (x) = f (x)； (A4) 存在负元素 对每个多项式 f (x) = an x n + an−x n− + ⋯ + ax + a， 都存在多项式 −f (x) = −an x n − an−x n− − ⋯ − ax − a， 它称为多项式 f (x) 的负多项式，使得 f (x) + (−f (x)) = (−f (x)) + f (x) = ． 对于 F[x] 中两个多项式 f (x) 和 g(x)，其乘积 f (x)g(x) 定义为 f (x)g(x) = cn+mx n+m + cn+m−x n+m− + ⋯ + cx + c， 其中 cn+m = anbm， cn+m− = anbm− + an−bm， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ci = ∑ j+k=i ajbk ， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ c = ab． 于是规定了多项式的乘法．因为 an ≠ ，bm ≠ ，故 anbm ≠ ．所以， deg( f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x)． 容易验证，多项式的乘法适合以下的公理．设 f (x)， g(x)， h(x) ∈ F[x]，则 (M1) 乘法结合律 f (x)(g(x)h(x)) = ( f (x)g(x))h(x)； (M2) 乘法交换律 f (x)g(x) = g(x) f (x)； (M3) 存在单位元素 即存在纯量多项式 e(x) = ，使得

6 第一章多项式州 f(x)e(x)=e(x)f(x)=f(x): (D)加乘分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x). 于是根据定义，F[x]是交换环，它称为数域F上的一元多项式环 习题.2 1.设fx),g(x)F[证明，当仅当=0，或g(的)0时，fx)g(x)=0. 2.设f代x),g(x,h(x)[,且(x）+0.证明，若fx)8(x=f（x)h(x),则g(x)=h(x). 3.设非零的实系数多项式（御系数是实数的多明 式满足(x)=广产(x),其中k 是给定的正整数求多项式x), 4.设非零的实系数多项式满足x》=户(x).求多项式(x) 1+0.证明，对任意给定的正整数n,不存在n次实 系数多项式gx),使得f()=g(() (本题似有误) 6 实系数多须式P(户0t x”满足 0a34=a≤g=ar 所有这样的多项式P(的集合记作A:证明，如果P(x)∈A(m),Q(x)eA(m),则乘积 P()Q(x)∈A(m+m. s1.3整除性与最大公因式 数域上的院多项环的是我们遇到的第一个不是由数构成的交换环。 它的性质是香否与数环特别是与整数环Z相同？譬如，在整数环2中，对于任意整 数a,b2,b0,总存在唯 一对整数g和r,0≤r<bl,使得a=9b4r整数环Z 的这一性质，多项式环F[x]是否也具有？对此，有 定理13.1（带余除法设多项式f(x),g(x)∈x,g()+0,则存在唯一一对 多项式q(x),r(x)eFlx].degr(x)<degg(x),使得 f)9(x)g(x)+7() 1.31 证明存在性设 fx)=a4+a1 0≠0， g(x):. 显然，当n<m时，取q(x)=0,r(x)=f(x),则式(1.3.1)成立.当n≥m时，记 f(x)xg((). 显然，degfi(x)<degf(x) 于是对degf(x)=n用归纳法，则存在多项式(x),r(x)eF[x],degr(x)<

⋅ 6 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ f (x)e(x) = e(x) f (x) = f (x)； (D) 加乘分配律 f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x)． 于是根据定义，F[x] 是交换环，它称为数域 F 上的一元多项式环． 习 题 1.2 1. 设 f (x)， g(x) ∈ F[x]．证明，当且仅当 f (x) = ，或 g(x) =  时，f (x)g(x) = ． 2. 设 f (x)， g(x)， h(x) ∈ F[x]，且 f (x) ≠ ．证明，若 f (x)g(x) = f (x)h(x)，则 g(x) = h(x)． 3. 设非零的实系数多项式 f (x)（即系数都是实数的多项式）满足 f ( f (x)) = f k (x)，其中 k 是给定的正整数．求多项式 f (x)． 4. 设非零的实系数多项式 f (x) 满足 f (x  ) = f  (x)．求多项式 f (x)． 5. 设实系数多项式 f (x) = ax + bx + c，a ≠ ．证明，对任意给定的正整数 n，不存在 n 次实 系数多项式 g(x)，使得 f (g(x)) = g( f (x))． (本题似有误) 6. 设实系数多项式 P(x) = a + ax + ⋯ + an x n 满足  ⩽ a = an ⩽ a = an− ⩽ ⋯ ⩽ a[ n  ] = a[ n+  ] ， 所有这样的多项式 P(x) 的集合记作 A(n)．证明，如果 P(x) ∈ A(n)，Q(x) ∈ A(m)，则乘积 P(x)Q(x) ∈ A(n + m)． §1.3 整除性与最大公因式 数域 F 上的一元多项式环 F[x] 是我们遇到的第一个不是由数构成的交换环． 它的性质是否与数环，特别是与整数环 Z 相同？譬如，在整数环 Z 中，对于任意整 数 a， b ∈ Z，b ≠ ，总存在唯一一对整数 q 和 r， ⩽ r < ∣b∣，使得 a = qb + r．整数环 Z 的这一性质，多项式环 F[x] 是否也具有？对此，有 定理 1.3.1（带余除法）设多项式 f (x)， g(x) ∈ F[x]，g(x) ≠ ．则存在唯一一对 多项式 q(x)，r(x) ∈ F[x]，deg r(x) < deg g(x)，使得 f (x) = q(x)g(x) + r(x)． (1.3.1) 证明 存在性 设 f (x) = an x n + an−x n− + ⋯ + ax + a， an ≠ ， g(x) = bmx m + bm−x m− + ⋯ + bx + b， bm ≠ ． 显然，当 n < m 时，取 q(x) = ，r(x) = f (x)，则式 (1.3.1) 成立．当 n ⩾ m 时，记 f (x) − an bm x n−m g(x) = f(x)， 显然，deg f(x) < deg f (x)． 于是对 deg f (x) = n 用归纳法，则存在多项式 q(x)，r(x) ∈ F[x]，deg r(x) <

51.3整除性与最大公因式 7 degg(x),使得 f四-2g==g6eg)+rt 因此， f=(层r+axg)+r 这表明，如果记q(x)=abxm+9(x)则式(3)成立。 唯-性设g(x).n(x)eF[degG3degg():使得式(13.1)成立.则 (q(x)qi(x))g()n()-r() 因此，如果q(x)卡q(x),则由上式 degg(x)<deg(q(x)-q1(x))+degg(x)=deg(r(x)-r()) 但因degr(x)<degg(x),degr(x)<degg,因此， deg(n(x)-r(x))<degg(x) 不可能.所以，9(x)=9(x),从而r(x)=n(x) 和整数环Z相仿，定理1.31中多项式q(x)与()分别称为多项式)除以 g(x)的商式与余式. 应当指出，定理13.1关于商式9(x)与余式(x)的存在性证明是构造性的.换 句话说，给定多项式f(x)与g(x),g(x)+0,可以按照定理13.1的证明方法求出商 式g(x)与余式r(x),其过程如下： 当degf(x)<degg(x)时，q(x)=0,r(x)=f(x) 当degf(x)≥degg(x)时，记 f(x)- b "g(x)=f(). 如果deg(degg(x),则 f(x)b x-mg(x)+fx为 此时q(x).() 如果dg风degg且(x)的首项系数为4+0degf,则记 人(XFbm CLx'-mg(x)() 如果deg(dg,则 ((x). 此时q(x)=a,bx-+c,(=x. 如果deg(x)≥degg(x),则重复上述过程.于是得到多项式序列f(x),(x) ,f(x),.,它们适合 degf(x)>degfi(x)>degf(x)>.>degf(x)>.≥degg(x). 由于degf(x)-degg(x)是有限的，因此，经有限步后，必有C,使得

´ §1.3 整除性与最大公因式 ⋅ 7 ⋅ deg g(x)，使得 f (x) − an bm x n−m g(x) = f(x) = q(x)g(x) + r(x)． 因此， f (x) = ( an bm x n−m + q(x))g(x) + r(x)． 这表明，如果记 q(x) = anb − m x n−m + q(x)，则式 (1.3.1) 成立． 唯一性 设 q(x)，r(x) ∈ F[x]，deg r(x) < deg g(x)，使得式 (1.3.1) 成立．则 (q(x) − q(x))g(x) = r(x) − r(x)． 因此，如果 q(x) ≠ q(x)，则由上式， deg g(x) < deg(q(x) − q(x)) + deg g(x) = deg(r(x) − r(x))． 但因 deg r(x) < deg g(x)，deg r(x) < deg g(x)，因此， deg(r(x) − r(x)) < deg g(x) 不可能．所以，q(x) = q(x)，从而 r(x) = r(x)． ∎ 和整数环 Z 相仿，定理 1.3.1 中多项式 q(x) 与 r(x) 分别称为多项式 f (x) 除以 g(x) 的商式与余式． 应当指出，定理 1.3.1 关于商式 q(x) 与余式 r(x) 的存在性证明是构造性的．换 句话说，给定多项式 f (x) 与 g(x)，g(x) ≠ ，可以按照定理 1.3.1 的证明方法求出商 式 g(x) 与余式 r(x)，其过程如下： 当 deg f (x) < deg g(x) 时，q(x) = ，r(x) = f (x)． 当 deg f (x) ⩾ deg g(x) 时，记 f (x) − an bm x n−m g(x) = f(x)． 如果 deg f(x) < deg g(x)，则 f (x) = an bm x n−m g(x) + f(x)， 此时 q(x) = anb − m x n−m，r(x) = f(x)． 如果 deg f(x) ⩾ deg g(x)，且 f(x) 的首项系数为 ct ≠ ，t < deg f (x)，则记 f(x) − ct bm x t−m g(x) = f(x)． 如果 deg f(x) < deg g(x)，则 f (x) = ( an bm x n−m + ct bm x t−m )g(x) + f(x)， 此时 q(x) = anb − m x n−m + ctb − m x t−m，r(x) = f(x)． 如果 deg f(x) ⩾ deg g(x)，则重复上述过程．于是得到多项式序列 f (x)， f(x)， . . . ， fk (x)， . . . ，它们适合 deg f (x) > deg f(x) > deg f(x) > ⋯ > deg fk (x) > ⋯ ⩾ deg g(x)． 由于 deg f (x) − deg g(x) 是有限的，因此，经有限步后，必有 ℓ，使得