引理2Q[]的每一个不等于零的多项式f()都可以写成F(x)=-fo(x)的样子，这里a,bel,f(x是[x]的本元多项式。若是8(x)也有f。（x）的性质，那么（是的单位）go(x)=sf.(x)
引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也 有 的性质，那么 Q x f x( ) ( ) 0 ( ) b f x f x a = a b I f x , , 0 ( ) I x g x 0 ( ) f x 0 ( ) g x f x I 0 0 ( ) = ( ) ( 是 的单位)
证明Q的元都可以写成(a,bel，α0)的样子，因此f(x)=bo+bx+..bx"(a,b,eI)叫a=aa..an，那么J(t)=(co+cx+…+c,x"）(c,e1)叫 b 是 Co,G,",c,的一个最大公因子，那么f(x)=f(x)，f(x)是本原多项式（IV，2习题2)假定另一方面 r(x)==g ()，c,d,g(x) 是I[x]的本原多项式,那么 h(x)=bcf(x)=adg。(x)是[的一个多项式。由于f。(x)和 g。(x)都是本原多项式，bc和ad一定同是h(x)的系数的最大公因子（IV，2，习题2），因而bc=εad（c是的单位证完这样 εf(x)=g(x)
证明 Q的元都可以写成 的样子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一个最大公因 子，那么 ， 是本原多项式（Ⅳ，2习题2） 假定另一方面 ， 是 的本原多项式， 那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数 的最大公因子（Ⅳ，2，习题2），因而 这样 证完 ( , ) b a b I a a ， 0 ( ) ( ) 0 1 0 1 , n n i i n b b b f x x x a b I a a a = + + + 0 1 n a a a a = ( ) ( 0 1 ) ( ) 1 n n i f x c c x c x c I a = + + + 0 1 , , , n c c c ( ) 0 ( ) b f x f x a = f x 0 ( ) ( ) 0 ( ) d f x g x c = c d g x , , 0 ( ) I x h x bcf x adg x ( ) = = 0 0 ( ) ( ) I x f x 0 ( ) g x 0 ( ) h x( ) bc ad I = ( 是 的单位) f x g x 0 0 ( ) = ( )