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《微积分（第3版）（主编：吴传生）》满射：设f是从集合X到集合Y的映射，若R，=Y，即Y中任一元素V都是X中某元素的像，则称↑为X到Y上的映射或满射；单射：若对X中任意两个不同元素x≠x2，它们的像f(x）+f(x），则称↑为X到Y的单射；双射：若映射↑既是单射，又是满射，则称↑为一一映射(或双射)。二、 逆映射与复合映射1.逆映射设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yeR,，有唯一的xeX适合f(x)=y，于是，我们可定义一个从R，到X的新映射g，即g:D,→X对每个yeR，，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y.这个映射g称为↑的逆映射，记作f，其定义域D=R,，值域R=X.只有单射才存在逆映射.2.复合映射设有两个映射g：X→Y，f:Y，→Z，其中YY2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xEX映射成f[g(x)leZ.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和↑构成的复合映射，记作fog,即fog:X→Z,即有(fog)(x)=flg(x))应注意的问题：映射g和f构成复合映射的条件：g的值域必须包含在↑的定义域内，否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fg有意义并不表示g°f也有意义.即使f·g与g°f都有意义，复映射fg与g。f也未必相同例1设有映射g:R→[-1,1]，对每个xeR，g(x)=sinx，映射f:[-1,]→[0,1],对每个ue[-1,]]，f(u)=Vl-u2，则映射g和↑构成复映射fog：R→[0,1]，对每个xeR,有(f o g)(x)= f[g(x))= f(sin x)= /1-sin x = cosxl.5

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 5 满射：设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射, 若 f  YR ， 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某 元素的像, 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射; 单射：若对 X 中任意两个不同元素 21  xx , 它们的像 )()( 1 2  xfxf , 则称 f 为 X 到 Y 的单射; 双射：若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称 f 为一一映射(或双射). 二、 逆映射与复合映射 1.逆映射 设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个  Ry f , 有唯一的  Xx 适合 )(  yxf , 于是, 我们可定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g , 即 ： f  XDg 对每个  Ry f , 规定 )(  xyg , 这 x 满足 )(  yxf . 这个映射 g 称为 f 的逆映射, 记作 1- f , 其定义域 f f 1  RD , 值域 XRf 1  . 只有单射才存在逆映射. 2.复合映射 设有两个映射 ： YXg 1 ，  ZYf： 2 ，其中  YY 21 ，则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则, 它将每个  Xx 映射成 ([ )] Zxgf .显然, 这个对 应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射, 记作  gf , 即   ZXgf ，： 即有 (  )(  ([) xgfxgf )] 应注意的问题: 映射 g 和 f 构成复合映射的条件： g 的值域必须包含在 f 的定义域内, 否则, 不能 构成复合映射. 由此可以知道, 映射 g 和 f 的复合是有顺序的,  gf 有意义并不表示  fg 也有意义. 即使  gf 与  fg 都有意义, 复映射  gf 与  fg 也未必相同. 例 1 设有映射 ：Rg  ，]11[ , 对每个  Rx ,  sin)( xxg , 映射 f ，：  ]1,0[]11[ ， 对每个 u  ，]11[ , 2 1)(  uuf . 则映射 g 和 f 构成复映射  Rgf  ，： ]10[ , 对每个  Rx ，有 ( )( ([) )] |cos|sin1)(sin 2  xfxgfxgf  xx

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》三、函数1.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集.如果对于每一个xED，变量y按照一定的法则（或关系）总有唯一确定的数值与它对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)．x称为自变量为，称为因变量（或函数），数集D称为这个函数的定义域，而因变量y的变化范围 f(D)称为函数f(x)的值域.注：讲解自变量、因变量、对应规则、定义域、值域、函数值、几种常用的特殊函数2.举例 1-7—1-11四、函数的几种特性1．函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间IcD.如果对区间I上的任意两点x,和x2，当x<x时总有不等式f(x)<f(xz)成立，则称函数f(x)在区间1上是单调增加的；若当x<x,时总有不等式f(x)>f(x2)成立，则称函数f(x)在区间1上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.2.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称，且对与任何xED，恒有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数3.函数的周期性设函数f(x)的定义域为D，如果存在非零数l，使得对于任意的xED，有x土eD，且f(x+I)=f(x)恒成立，则称函数f(x)为周期函数，1称为f(x)的周期。通常我们所说的周期指的是最小正周期.4．函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，ICD，如果存在正数M，使得对任意xEI，有F(x)≤M，则称函数f(x)在区间1上有界6

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 6 三、 函数 1. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集．如果对于每一个  Dx ，变量 y 按照一 定的法则（或关系）总有唯一确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数，记为  xfy )( ．x 称为自变量为， y 称为因变量（或函数），数集 D 称为这个函数的定义域，而因变量 y 的 变化范围 f D( ) 称为函数 xf )( 的值域． 注：讲解自变量、因变量、对应规则、定义域、值域、函数值、几种常用的特殊函数. 2. 举例 1-7—1-11 四、函数的几种特性 1. 函数的单调性 设函数 xf )( 的定义域为 D，区间  DI . 如果对区间 I 上的任意两点 1 x 和 2 x ，当 21  xx 时总有不等式 )()( 1 2  xfxf 成立，则称函数 xf )( 在区间 I 上是单调增加的；若当 21  xx 时总有不等式 )()( 1 2  xfxf 成立，则称函数 xf )( 在区间 I 上是单调减少的．单调 增加和单调减少的函数统称为单调函数． 2. 函数的奇偶性 设函数 xf )( 的定义域 D 关于原点对称，且对与任何  Dx ，恒有  xfxf )()( 成立， 则称函数 xf )( 为偶函数；如果恒有  xfxf )()( 成立，则称函数 xf )( 为奇函数． 3. 函数的周期性 设函数 xf )( 的定义域为 D，如果存在非零数 l ，使得对于任意的  Dx ，有  Dlx ， 且  xflxf )()( 恒成立，则称函数 xf )( 为周期函数， l 称为 xf )( 的周期．通常我们所 说的周期指的是最小正周期． 4. 函数的有界性 设函数 xf )( 的定义域为 D，  DI ，如果存在正数 M ，使得对任意  Ix ，有 )(  Mxf ，则称函数 xf )( 在区间 I 上有界．

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》讨论、思考：1. 设 f(x)=判断函数 f(F[(x)])的奇偶性及有界性。V1+ x2xx(答 f([f(x)])=,xeR，奇函数，有界f([f(x)]≤l。V1+3x2/1+3x2x+22.函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数y的定义域为B,则ANB=1-x3.下列函数中，既是(0,号)上的增函数，又是以元为周期的偶函数是（）2Dy=cos2xA y=sinxBy=cosxC y=|sin2xl作业：（课本）习题1-2（2,3,5,6)参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课100分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他V讲授讨论指导其他教学方式：实模型教学资源：V多媒体物挂图其他音像

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 7 讨论、思考： 1. 设 2 ( ) 1 x f x x   ，判断函数 f f f x     ( ) 的奇偶性及有界性。 （答     2 ( ) , 1 3 x f f f x x R x    ，奇函数，有界     2 ( ) 1 1 3 x f f f x x    。） 2. 函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为 A，函数 x x y    1 2 的定义域为 B，则 A∩B=_ 3. 下列函数中，既是 ) 2 ,0(  上的增函数，又是以  为周期的偶函数是（ ） A y=|sinx| B y=|cosx| C y=|sin2x| D y=cos2x 作业：（课本） 习题 1－2（2,3,5,6） 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 0 分钟，授新课 100 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型： √理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式： √讲授 讨论 指导 其他 教学资源： √多媒体 模型 实 物 挂图 音像 其他

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》授课时间第节2第周周课时安排授课题目(教学章、节或主题)：第一章函数第三节复合函数和反函数初等函数教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解复合函数、反函数、基本初等函数和初等函数的概念：2.掌握基本初等函数的性质和图像；3.了解函数的四则运算运算教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：基本初等函数和初等函数的概念个性质难点：基本初等函数的性质主要内容第三节复合函数和反函数初等函数一、反函数定义设f(x)的定义域为D，值域为W，因此，对VyeW，必xeD，使得f(x)=y，这样的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x=p(y)，称之为函数y=f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。注1.反函数x=p(y)的定义域为W，值域为D；2.由上讨论知，即使y=f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究：3.在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=p(y)中的x与y对换一下，=f(x)的反函数就变成=p(x)，事实上函数=(x)与x=(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母"β"没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y=f(x)的反函数为x=p(y)，那么y=p(x)也是y=f(x)的反函数，且后者较常用：4.反函数y=p(x)的图形与直接函数y=f(x)的图形是对称于y=x。例如：函数y=ax+b,y=x,y=x的反函数分别为：x=二b,x=+/,x=或分别为y=二b,y=±/,y=x。8

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 8 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第三节 复合函数和反函数 初等函数 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解复合函数、反函数、基本初等函数和初等函数的概念； 2. 掌握基本初等函数的性质和图像； 3. 了解函数的四则运算运算. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 基本初等函数和初等函数的概念个性质 难点： 基本初等函数的性质 主要内容 第三节 复合函数和反函数 初等函数 一、 反函数 定义 设 xf )( 的定义域为 D ，值域为 W ，因此，对  Wy ，必  Dx ，使得 )(  yxf ， 这样的 x 可能不止一个，若将 y 当作自变量， x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新 函数   yx )( ，称之为函数  xfy )( 的反函数，而 xf )( 叫做直接函数。 注 1. 反函数   yx )( 的定义域为 W ，值域为 D ； 2. 由上讨论知，即使  xfy )( 为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问 题还作研究； 3. 在习惯上往往用 x 表示自变量， y 表示因变量，因此将   yx )( 中的 x 与 y 对换一 下，  xfy )( 的反函数就变成   xy )( ，事实上函数   xy )( 与   yx )( 是表示同一函 数的，因为，表示函数关系的字母 "" 没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关 系。所以说：若  xfy )( 的反函数为   yx )( ，那么   xy )( 也是  xfy )( 的反函数， 且后者较常用； 4. 反函数   xy )( 的图形与直接函数  xfy )( 的图形是对称于  xy 。 例如：函数 2 3 y ax ,  xyxyb 的反函数分别为： 3 1 , yxyx a by x    或分别为 3 1 , xyxy a bx y   

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》二、复合函数若y=f(u)u=p(a)，当p(x)的值域落在f(u)的定义域内时，称y=f[o(x))是由中间变量u复合成的复合函数。例如2.y=Vuu=2+sinx可复合成y=/2+sinx注意：y=Vuu=sinx-2就不能复合。2.y=arctan2可以看作是y=arctanu，u=2"，V=/x复合成的复合函数。三、函数的运算（和差积商运算）设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D.1.D2、D=D1OD2の，则我们可以定义这两个函数的下列运算：和(差)f ±g : (f ±g) (x)=f(x)±g(x), xeD:积f -g : (f -g)(x)=f(x)g(x), xeD;商：()()=,xeDI (x|g(x)=0) .g(x)gg例3设函数f(x)的定义域为(-1，1)，证明必存在(-1，1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x)分析如果f(x)=g(x)+h(x)，则f(-x)=g(x)-h(x)，于是[f(x)+f(-x)h(x)==Lf(x)-f(-x)g(x):证明 作 g(x)=_Lf(x)+ f(-x), h(x)==Lf(x)-f(-x)], 则 f(x)=g (x)+h(x),g(-x)=↓L(-x)+ f(x)= g(x),且Lf(x)-f(-x)=-h(x)h(-x)==f(-x)-f(x)=-四、初等函数基本初等函数：幕幂函数:J=x"(ueR是常数),指数函数:y=a(a>0且a1)对数函数:y=logax(a>0且a+1,特别当a=e时，记为y=lnx),9

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 9 二、复合函数 若       xuufy ，当   x 的值域落在   uf 的定义域内时，称      xfy 是由 中间变量 u 复合成的复合函数。 例如 2.  sin2 xuuy 可复合成 y  sin2 x 注意： xuuy  2sin 就不能复合。 2. x y  2arctan 可以看作是 xvuuy v  arctan 2 ，  复合成的复合函数。 三、函数的运算（和差积商运算） 设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义这两个 函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商 g f : )( )( ( )( ) xg xf x g f  , xD\{x|g(x)0}. 例 3 设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x), 使得 f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是 ()([ )] 2 1 )(  xfxfxg , ()([ )] 2 1 )(  xfxfxh . 证明 作 ()([ )] 2 1 )(  xfxfxg , ()([ )] 2 1 )(  xfxfxh , 则 f(x)g(x)h(x), 且 ()([ )] )( 2 1 )(  xgxfxfxg , ()([ )] )( 2 1 ()([ )] 2 1 )(  xhxfxfxfxfxh . 四、初等函数 基本初等函数: 幂函数: yx  (R 是常数); 指数函数: ya x (a0 且 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);