第4章矩阵相似对角化
第4章 矩阵相似对角化
4.1欧氏空间R"(（加法，数乘，尚积三种运算） 定义了尚积适算的n雅实向量空间 二、三维向量长度√2+2，√2+y2+z,推广 ☑++.+a品为此引入 、向量内积 b L.定义在Rn中，设向量o&= ,称 b+4,b2+.+0,bn=∑0b,为向量Q与B的内积， 记：(oa,B)或a阝
一、向量内积 4.1 欧氏空间Rn ——定义了内积运算的n维实向量空间 二、三维向量长度 , ，推广: 2 2 x y + 2 2 2 x y z + + 2 2 2 a a a 1 2 + + + n 为此引入: 1.定义 在Rn中, 设向量 ， ，称 = 1 2 n a a a = 1 2 n b b b = 1 1 2 2 + + + = 1 n n n i i i a b a b a b a b 为向量 与 的内积, 记: ( , ) 或 T (加法,数乘,内积三种运算)
例1设o=(4,2,3,1)',B=(2,6,4,3)求(Q,B) 2 解 0,B)=(42,-3,10 6 =4X2+2×6+(3)X4+1X3 4 3 =11 例2设&=(1,1，.，1)，a=(a,a2,.,4n)}求(a,8) 解(a,8）=41+u2+.+am∑4 i=1 2.性质：(1)对称性(aB)=(B,a） (2)线性性(a+B,Y)=(a,Y）+(B,Y） (ka,B)=k(a,B) 3)正定性(@，a)=d+d++d≥0 且(a,a)）=0台a=0
2.性质：(1)对称性 ( , ) ( , ) = ( , ) k = ( , ) + = ( , ) = 且( , ) = = 0 o 例2 设 ( , , , ) , ( , , , ) ，求 T T a a an = = 1 1 1 1 2 ( , ) 解 ( , ) = a a a 1 2 + + + n n i i a = = 1 k( , ) ( , ) ( , ) + a a a + + + n 2 2 2 1 2 ≥ 0 (2)线性性 (3)正定性 例1 设 = − = ( , , , ) , ( , , , ) 4 2 3 1 2 6 4 3 ，求 T T ( , ) 解 ( , ) = ( , , , ) − 2 6 4 2 3 1 4 3 =4×2+2×6+(-3)×4+1×3 =11
二、向量长度 1.定义R中向量Q=(a1,42,.,4n)的长度定义为 =(@,)=√d+G+.+;也称为向量范数 长度为1的向量称为单位向量.例：6=1 2.性质 (1)a0且a=0→a=o (2)kaa (kER) 注：任一非零向量均可单位化 a≠o,a°=8为单位向量a ai lal-D
二、向量长度 1.定义 Rn中向量 ( , , , ) 的长度定义为 T = a a a 1 2 n = = + + + ( , ) 2 2 2 a a a 1 2 n ;也称为向量范数. 长度为1的向量称为单位向量. 例: 2.性质 (1) 0 且 = = 0 o k k R = k ( ) 注: 任一非零向量均可单位化—— o, = 为单位向量. ( = = (2) j = 1 = ) 1 1
3)a,psap即：2a,b sv-v 柯西一布涅可夫斯基不等式) 且(aB)=dB台o与B线性相关 证：1)o与B线性相关台B=k,k∈R (a,B)=(a,ka)=kaa ka =a B 2)0与B线性无关a≠0，B≠0，Vk∈R,a+kB≠o a+kB2=(a+kB,a+kB)=a2+2k(a.B)+k2B2 (a,B) B 选取适当的k,使该式值为0， 即证得不等式
( , ) n n n i i i i i i i a b a b = = = 2 2 1 1 1 (3) 即: (柯西－布涅可夫斯基不等式) 且 ( , ) = 与 线性相关 证: 1) 与 线性相关 = k k R , = ( , ) ( , ) k = 2 k = k = 2 + = k 2) 与 线性无关 + o o R k , ; , k o ( , ) + + = k k 2 2 2 + + 2 ( , ) k k 2 2 2 2 ( , ) ( , ) = + + − ( ) k >0 选取适当的k，使该式值为0, 即证得不等式