1.3行列式的展开定理 设D 一、行列式按某行（列展开 1.两个概念 (元素a,的余子式：在D4,中划去元素a,所在 的第行和第列元素，得到的1阶行列式。记M (2)元素a的代数余子式：A,=(一)M 例 13 014 012014 M21 (L23 l24 A232+3M23=431 l32 34 41 L43 44 41 042 L44
1.3 行列式的展开定理 ij n 设 D a = 一、行列式按某行(列)展开 1. 两个概念 (1)元素aij的余子式：在 中划去元素aij所在 的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记Mij ij n D a = (2)元素aij的代数余子式： 11 12 14 31 32 34 41 42 44 a a a a a a a a a − 11 13 14 21 23 24 41 43 44 a a a a a a a a a 4 : ij 例 a M32 ＝ Aij ＝(－1)i+jMij A23 =(-1)2+3M23 =
2.行列式按某行（列展开定理 第i行 D 展开 14t242+.+n4n∑0,4yi=l,2,.,m i=] 第j列 是元04++0w4n4,4j=l,2,n 展开 证明思路：先证特殊情形再证一般情形； 般情形的证明通过转化为特殊情形完成. 证①先证 012 n-1 W 2 l2n-1 a2n nn n-11 n-12 On-In-1 On-In
2. 行列式按某行(列)展开定理 按第 行 展开 i D ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij j a A i n = = = 按第 列 展开 j ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij i a A j n = = = 证明思路:先证特殊情形再证一般情形； 一般情形的证明通过转化为特殊情形完成. 证①先证 11 12 1 1 1 21 22 2 1 2 11 12 1 1 1 0 0 0 n n n n nn nn n n n n n nn n a a a a a a a a D a A a a a a a − − − − − − − = = ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj
定义 D ∑(ha凸.0 hzin ∑(lha4,.0n.,=nMnm=0mAm jj2jn-同 1 12 j ②次证 D 0 0 j 0 =4 An2 可 行逐一向下交换经n一次至末行 列逐一向右交换经n一次至末列
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 定义 ( ) 1 2 1 ( ) 1 2 1 ( 1) ( 1) n n n n n n j j j n j j n j nn j j j n j j j nn j j n j nn nn nn nn j j j D a a a a a a a a a M a A − − − − − − − − == − = − = = ②次证 11 12 1 1 1 2 0 0 0 j n ij ij n n nj nn ij a a a a D a A a a a a a = = i行逐一向下交换经n－i次至末行 j列逐一向右交换经n－j次至末列 D
0 Cj- j 。●。 j 011 4i 1A1 4i-j Ci-In Ai-1j ("4n- Ci+11 +1j-1 L+1j+1 Cirin dixj l可- Cnjri （ln 可 0 0 0 0 -Lyitidg Mm=(-1)iagMy=arAg
11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) 0 n j j n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j n nj nj nn nj ij i n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − + + − + + + + − + − + − − ＝(－1)i＋j ＝ aij Mij ＝aijAij (－1)i＋j aij Mnn 由①
③最后 011 12 D= ai ai2 0:+0+.+00+42+.+0.0+0+.+0m An2 0 .0+002 .0+.+00 由② m4m+2d2++0mAm证毕 5
5 ③最后 11 12 1 1 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 n i i in n n i i in nn a a a D a a a a a a a a a = = + + + + + + + + + = + + + a a a i i in 1 2 0 0 0 0 0 0 ＝ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin 证毕 由②