《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_2-2特殊、分块

2.2几种特殊的矩阵及其运算 1对角矩阵：方阵， 即：0，（店， 形如 j=1,2,n） b 4b1 ab, An nxn 结论：A,B同阶对角阵→A士B,kA,AB=BA为对角阵 AT=A 2.数量矩阵：对角阵， 对角线上元素相同， =aEn nxn

2.2 几种特殊的矩阵及其运算 1.对角矩阵:方阵, 1 2 n n n a a a              即: 1 1 2 2 n n n n n n a b a b a b                           结论:A,B同阶对角阵  A±B,kA,AB=BA为对角阵 2.数量矩阵：对角阵， 对角线上元素相同， n n a a a              形如 aij=0, i≠j (i, j=1,2,. ,n) AT=A = aEn 1 1 2 2 n n n n a b a b a b        =      

3.单位矩阵：数量矩阵E, 对角线上元素为1 nxn 结论：EnAAmxnAmxn AmxnEn (aEm)Amx n-aAmx n-Amxn(aEn) 4.上（下)三角形 12 Cin 矩阵：方阵，形如 L22 a2n L21 L22 a0,>j(u-0,ij） An2 结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵 之和、积仍为同结构三角形矩阵

3. 单位矩阵：数量矩阵， 对角线上元素为1 1 1 1 n n n E        =       结论: 4.上(下)三角形 矩阵：方阵, 形如 11 12 1 22 2 ; n n nn a a a a a a             11 21 22 n n nn 1 2 a a a a a a             结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵 之和、积仍为同结构三角形矩阵. EmAm×n =Am×n =Am×nEn (aEm)Am×n =aAm×n =Am×n (aEn ) aij=0, i>j(aij=0, i<j)

5对称矩阵：= A为对称矩阵长→A=A 反对称矩阵：-→a0 A反对称台AT-一A 结论：①A、B同阶对称（反对称）矩阵，则kA、A+B 仍为对称（反对称）矩阵，但AB未必为对称（反对称） 矩阵例 -1-1 00 ②A、B均为n阶对称（反对称）矩阵，则 AB对称（反对称）→AB=BA(AB=一BA) 证②“反对称”：由已知4-一A,B=一B 必要性（→)，'(AB)T=一AB AB=-(AB)T=-BTAT=(B)(A)=-BA 充分性《仁），AB=一BA ,'.（AB)T=BAT=(一B)(一A0=BA=-AB

5. 对称矩阵:aij ＝aji  反对称矩阵:aij =-aji A反对称 结论:①A、B同阶对称(反对称)矩阵, 则kA、A+B 仍为对称(反对称)矩阵，但AB未必为对称(反对称) 矩阵。例: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0       − − −        =       − ②A、B均为n阶对称(反对称)矩阵，则 AB对称(反对称)  AB＝BA(AB＝－BA) 证②“反对称”：由已知 ，必要性( )  充分性( )  A为对称矩阵 AT=A  AT a =－A  ii=0 AT=－A， BT=－B ∵(AB) T＝－AB ∴ AB＝－(AB) T＝ ∵AB＝－BA ∴ (AB) T＝BTAT＝ －BTAT＝－(－B)(－A)＝－BA (－B)(－A)＝BA＝－AB

结论：③任一阶方阵均可表示为一个对称矩阵与二 个反对称矩阵之科 A=AT B对称， A =B+CC反对称. 2 2 ④对任意矩阵A,ATA与AAT均为对称矩阵 '(☑nXmAmx)r=AA0T=AA 00考研：A国 0 ,n为正整数，则 -1 aE =(AA")"= [2(a=2"] 技巧： (AA2=A(ATA)(ATA)AT.AAT 0 )n- =2日1AAW -2-1

结论:③任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一 个反对称矩阵之和： 2 2 T T A A A A A + − = + B对称; C反对称. ④对任意矩阵A, ATA与AAT均为对称矩阵. 00考研: ，n为正整数, 则 1 0 1 A     =     −  ( ) T n aE AA − = 1 1 1 1 1 2 0 2 2 0 0 0 2 0 2 n n n T n n AA − − − − −   −   = =     −  技巧： ∵(AT n×mAm×n ) T ＝AT (AT ) T＝ AT A (AAT ) n =A(ATA)(ATA)AT.AAT [a 2 (a－2 n )] ＝B＋C

2.4分块矩阵 针对：行数，列数较高的矩阵（大型矩阵），采用分块法， 目的：大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算，使 运算更简单 例如： 1.概念：例 子块：用纵、横线分 011412 3 4 成的若干个小矩阵 A L22 3 L24 分块矩阵：以子 L32 33 34 块为元素的矩阵

针对:行数,列数较高的矩阵(大型矩阵),采用分块法. 目的:大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算,使 运算更简单. 1 0 0 0 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 4 A     −   =   −           =     1 2 E A O A 例如: 1.概念:例 11 12 13 14 11 12 21 22 23 24 21 22 31 32 33 34 a a a a A A A a a a a A A a a a a       = =           子块:用纵、横线分 成的若干个小矩阵 分块矩阵：以子 块为元素的矩阵 2.4 分块矩阵