复习：行列式定义 1 2 L21 a2 。 D ∑（)na4,.w. hinin ∑()n44,.4 从理论上说，利用定义可求任一行列式的值， 但对阶行列式，要作！一I次加减法，每项要作 n一1次乘法，总共作n.n-1)次乘法。 如n=5,需119次减法，480次乘法。故高于3阶 的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( 1) n n n n i i i j j j a a a i j i j i j + = − 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j a a a = − 复习：行列式定义 从理论上说，利用定义可求任一行列式的值, 但对n阶行列式，要作n!－1次加减法，每项要作 n－1次乘法，总共作n!(n－1)次乘法。 如n＝5，需119次减法，480次乘法。故高于3阶 的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算
1.2行列式的性质 2 21 2 a2n DT= 12 22 : A2n 称为D的转置行列式 T>turn D中的a在DI中的位置：行列 DYT=D 即：D与D互为转置行列式
1.2 行列式的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 11 21 1 12 22 2 1 2 n T n n n nn a a a a a a D a a a = 称为D的转置行列式 T → turn D中的aij在DT中的位置: 即:D与DT互为转置行列式。 j行i列 (DT ) T＝D
性质：行列式与其转置行列式的值相等 12 1 L21 022 2 22 An2 即：D=DI L A2n n Ann 注：这里行列式的值相等；而(D)=D形式也相同. 该性质由行列式定义易理解、证明。 由此，行列式的行和列地位相同， 故对行成立的性质对列也成立
性质1: 行列式与其转置行列式的值相等. 即: 注:这里行列式的值相等; 而(DT ) T＝D形式也相同. 该性质由行列式定义易理解、证明。 由此，行列式的行和列地位相同， 故对行成立的性质对列也成立。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a = D＝DT
性质2：互换行列式的两行（列，行列式变号. 011 12 n L12 行 414 l2 Cin 行 s行 0 ls2 n s行 0nln2·m an an2.ann 证：左一般项-)ia4,00 其个元素也是右行列式不同行不同列元素，符号： ()+i-水）=二()小方万
性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证:左一般项 1 1 2 ( ) 1 2 ( 1) i s n i s n j j j j a a a a a j j ij sj nj − 其n个元素也是右行列式不同行不同列元素,符号: 1 1 (12 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) i s n i s n s i n j j j j + j j j j − = − − 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in s s sn s s sn i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − i行 i行 s行 s行
注：常以表示行列式的第行row), 以c表示行列式的第列column). 记号：分 ,C;)C 推论：两行（列完全相同，行列式值为零'D=一D 性质3： 411 012 41 12 kai kai2 kain =k n 2 。 Anl 0n2 Ann Q n2 即：行列式任一行（列的公因子可提到行列式之外 或：用常数乘行列式任意一行（列的诸元素， 等于用k乘这个行列式.（由行列式定义易证）
性质3: 注: 常以ri表示行列式的第i行(row), 以ci表示行列式的第i列(column). i j r r i j 记号: c c 推论:两行(列)完全相同, 行列式值为零. 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 即:行列式任一行(列)的公因子可提到行列式之外. 或：用常数k乘行列式任意一行(列)的诸元素, 等于用k乘这个行列式. (由行列式定义易证) ∵D＝－D