复习： 内积性质：1)对称性(a,阝)=（阝，a) 2)线性性(a+B,Y）=(a,y）+(B,Y） (ka,B)=k(a,B) 3)正定性(a,)=++.+d≥0 且(a,a）=0台a=0 长度性质：)a20且a=0台a=o (2)ka=ka(kER) q 3)非零向量单位化 (4)(a,B)≤aB即：
内积性质:(1)对称性 ( , ) ( , ) = ( , ) k = ( , ) + = ( , ) = 且 ( , ) = = 0 o k( , ) ( , ) ( , ) + a a a + + + n 2 2 2 1 2 ≥ 0 (2)线性性 (3)正定性 复习： 长度性质:(1) 0 且 = = 0 o k k R = k ( ) (3)非零向量单位化—— ( ) o (2) n n n i i i i i i i a b a b = = = 2 2 1 1 1 (4) ( , ) 即:
向量正交结论)零向量与任何向量正交 (2)a与a正交→0=o 3)Vx,B∈R",a+Ba+B(三角不等式) 且a+a@p→a与B线性相关 而a+p=a+p台a与B互相正交沟殿定理 (④)定理正交向量组线性无关 化R的一组基为标准正交基：1)正交化2)单位化 施密特正交化方法： 阝1=0必，f=0- (k=2,3,m)
(三角不等式) 向量正交结论 (1) , , n + + R 而 2 2 2 + = + 与 互相正交(勾股定理) 且 + = + 与 线性相关 (4)定理 正交向量组线性无关 化Rn的一组基为标准正交基：1)正交化 2)单位化 1 1 = , k k = − (k＝2,3,.,m) 1 1 k i i − = ( , ) ( , ) k i i i 零向量与任何向量正交. (2) 与 正交 = o (3) 施密特正交化方法：
正交矩阵定义：QQ=E 正交矩阵性质设P、Q为正交矩阵，则 02=1或-1 (2)Q-=Q” 3)2-1=Q及PQ为正交矩阵 定理设Q是n阶实方阵，则 Q是正交矩阵→Q的列向量组为R的一组标准正交基 (行) (判断正交矩阵QTQ=E或检查列向量组 均单位向量 两两正交
正交矩阵定义：QTQ＝E 正交矩阵性质 设P、Q为正交矩阵，则 (1) Q = − 1 1 或 (3)Q－1=QT及PQ为正交矩阵 (2) Q－1=QT 定理 设Q是n阶实方阵，则 Q是正交矩阵 Q的列向量组为Rn的一组标准正交基 (行) (判断正交矩阵: 均单位向量 两两正交 QTQ=E或检查列向量组 )
4.2方阵的特征值与特征向量 一、概念 1.定义设A×m,若存在数2，和非零向量X使得 AX=人X 称2为A的一个特征值，X为A的与孔。对应的特征向 量：无论入取何值，方程4=几，X均有零解；若 仅有零解，则该人不是特征值；求特征值即求使 方程AX=人，X有非零解的入， (此时必有 九为A的特征值⊙AX=几X有非零解 无穷多解 (特征根)台（几，E-A)X=O有非零解 台，E-小=0即叫是n次方程 2E-A=0的根
4.2 方阵的特征值与特征向量 一、概念 0 注：无论 取何值，方程 均有零解；若 仅有零解, 则该 不是特征值；求特征值即求使 方程 有非零解的—— 0 0 AX X = 0 AX X = 0 0 为A的特征值 = AX X 0 有非零解 − = ( ) 0 E A X O 有非零解 − = 0 E A 0 (特征根) ——即 0 是n次方程 E A− = 0 的根 (此时必有 无穷多解!) 1.定义 设An×n ,若存在数 0 和非零向量X, 使得 AX X = 0 0 称 0 为A的一个特征值,X为A的与 对应的特征向 量
2.定义 入E-A 一A的特征矩阵 设4nxm,则称f(2)九E-A A的特征多项式 2E-A=0 A的特征方程n次J 二、计算 1.求特征值，即求特征 2-11 一2 方程2E-A=0的根 -22 =0 (n次方程，在复数域 内有n个根) 2特征向量与特征值相对应，求特征向量必须先求 特征值，再将它代入齐次线性方程组(，E-A)X=O 求出所有非零解必存在！用基础解系线性表示) 相关加积：行刊式计并；求齐线性方程组基础蕲乐
2.定义 E A− ——A的特征矩阵 f E A ( ) = − ——A的特征多项式 E A− = 0——A的特征方程 (n次!) 设An×n ,则称 二、计算 1.求特征值，即求特征 方程 的根. (n次方程, 在复数域 内有n个根) 2.特征向量与特征值相对应, 求特征向量必须先求 特征值, 再将它代入齐次线性方程组 求出所有非零解(必存在！用基础解系线性表示.) E A− = 0 ( ) 0 E A X O − = n n n n nn a a a a a a a a a − − − − − − = − − − 11 12 1 21 22 2 1 2 0 相关知识:行列式计算;求齐次线性方程组基础解系