三、向量的夹角与向量正交 夹角 L.定义R中向量a与B c0s0= (a,B) 夹角的余弦定义为 a-B (adβ≠0) 若a,B)=0,称向量a与P互相正交 2.性质（)零向量与任何向量正交. (2)a与a正交→a=0 3)Va,B∈R",a+d+B(三角不等式) 且a+p=a+p台a与f互相正交肉殷定理 证：a+阝-(a+p,w+B)=(a,)+2(a,B)+(B,P) ≤a+2ap+p-(a+} a+a+p咀a+=+B⊙o与B线性相关 而a+β=a+β分a与B互相正交
(三角不等式) 1.定义 三、向量的夹角与向量正交 夹角 若 ( , ) = 0 ，称向量 与 互相正交 2.性质 (1) 零向量与任何向量正交. (2) 与 正交 = o , , n + + R 且 2 2 2 + = + 与 互相正交 证： + = + + ( , ) 2 = + + ( , ) ( , ) ( , ) 2 + + 2 2 2 = + ( )2 + + (勾股定理) (3) 而 2 2 2 + = + 与 互相正交 ( , ) cos ( 0) = 夹角的余弦定义为 Rn中向量 与 且 + = + 与 线性相关
例3P112例4-1)设a=(2,1,3,2),B=(1,2,-2,10) 1)求，B，并使向量a和B单位化 (2)求(a,B)及(a+B,a-B)；3)求cos(a,B及a+B (4求验证满足Cauchyz不等式和三角不等式. 解(ad-√(a,)=√22+12+32+22=3√2 B=V(p,)=V1+22+(2)}2+1=√10 a322,13,2)=(Y5,222 6’2’3 B √10√10 B 而22)-(m0 10,5,510
例3(P112 例4-1) 设 = = − (2,1,3,2), (1,2, 2,1) 解 (1) (1)求 , ，并使向量 和 单位化; (2)求 ( , ) 及 ( , ) + − ; (3)求 cos( , ) 及 + (4)求验证满足Cauchy不等式和三角不等式. = = + + + = ( , ) 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 = = + + − + = ( , ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 10 ( , , , ) ( , , , ) = = = 1 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 3 6 2 3 ( , , , ) ( , , , ) = = − = − 1 10 10 10 10 1 2 2 1 10 10 5 5 10