《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_4-3对角化

复习 1.九为A的特征值→AX=2,X(X≠0) 定义 →2E-A=0 计算 2对应的特征向量：(2E-A)X=O的非零解 2.特征值和特征向量的性质： ∑A=∑：；直2=4 i=1 Anxn有特征值2，则 4+bE有特征值au入+b;Am有特征值乳"(m∈Z) A可逆时，A有特征值 入；A有特征值

1.  为A的特征值  − = E A 0 复习： 对应的特征向量： ( ) E A X O − = 的非零解 0  =  AX X X  ( 0)  2. ; . n n n i ii i i i i   a A = = = 1 1 1    = = ——定义 计算 An×n有特征值  , 则 A可逆时, A－1有特征值 ;  1 A*有特征值 A  ( ); m  m Z+ aA+bE有特征值 a b  + ; Am有特征值 

43矩阵相似对角化 一、相似矩阵 引例P B 2 求P1AP=B 1.定交设，B,者存可逆碎P,使p=式， 则称H相似手，门.2 11-12 2.性质1)矩阵的相似关系是一种等价关系，具有 反身性(A~A、对称性(A~B→B~)、传递性， (因为E-AE=A) (A⊙B,BC→A~C） 由P-AP=B得：A=PBP-1=(P-I)-BP-) (由PAP=B,2BQ=C得： O(P-AP)O=(PO)APO=

2 1 1 1 3 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1        − − = =               − − − 4.3 矩阵相似对角化 一、相似矩阵 , , 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 P A B       − = = =             − − 引例 , 求P－1AP =B 1.定义 设An×n ,Bn×n ,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B, 则称A相似于B，记A~B. 2.性质 1)矩阵的相似关系是一种等价关系 反身性(A~A)、 (因为E－1AE＝A) (由P－1AP＝B得: (由P－1AP＝B ,Q－1BQ＝C得: 传递性. Q－1 (P－1AP)Q ＝ (PQ)－1APQ＝ C) ，具有 对称性(A~B B  ~A)、 (A~B, B~C A  ~C ) A＝PBP－1＝(P－1 )－1BP－1 )

2)相似矩阵的行列式相等 P-AP=B 3)相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时逆阵也相似 (P-AP=B两边求逆矩阵得：P-A=P=BI雪 4相似矩阵的幂仍相似 (P=AP=B得：Bk=(P=AP(P-AP)·(P-AP)=PAP 般地f(x)=ax"+4x"++amx+am 若A~B,则∫(A~f(B) 5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值 AE-B=AE-PAP=P(AE)P-PAP =P-(AE-A)P=P-E-AP=AE-A 6)相似矩阵有相同的迹（因为迹等于特征值之和） 初等 )相似矩阵有相同的秩（一A委换 B

2)相似矩阵的行列式相等 3)相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时逆阵也相似 (P－1AP＝B两边求逆矩阵得：P－1A－1P＝B－1 ) 4)相似矩阵的幂仍相似 (P－1AP＝B得: 1 0 1 1 ( ) m m m m f x a x a x a x a − 一般地 = + + + + − 若A~B，则f (A) ~ f (B) 5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值 E B− = 1 1 P E P P AP ( )  − − − ＝ E A− 6)相似矩阵有相同的迹 (因为迹等于特征值之和) 7)相似矩阵有相同的秩  1 P E A P ( ) − = − = 1 E P AP − − = Bk ＝( P－1AP)(P－1AP) . (P－1AP) 初等 (∵A B 变换 ) ＝P-1AkP) P－1AP＝B  1 P E A P − −

相似矩阵有许多共同性质。对A×,任给可逆阵P, 有P-AP=B~A,故与A相似的矩阵很多，从其中 找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表 (是什么？怎么求？相应的P?) (P-1(aE)P=aE) 写单位矩阵、数量矩阵相仙的矩阵只有它自己」 仅次于数量矩阵E的简单矩阵即对角矩阵，A能否 相似于一个对角矩阵（称A可对角化）？ 二、矩阵可对角化条件 即A的特征值 定理1 A有n个线性无 令关的特征向量 01302,3Cn

二、矩阵可对角化条件 相似矩阵有许多共同性质。对An×n ，任给可逆阵P， 有P－1AP＝B～A，故与A相似的矩阵很多，从其中 找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表 (是什么？怎么求？相应的P?) 与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己。 (P－1 (aE)P＝aE) 仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否 相似于一个对角矩阵(称A可对角化) ？—— 定理1 1 2 ~ n n n A          =          A有n个线性无 关的特征向量 1 2 , , ,   n 即A的特征值

Aa=人，a, A有n个线性无 关的特征向量 01)02,"30n 证→ 线性无关 pAP=人→AP=PA记P=(g,2,Q Ap=(Ad4,Aa( (a1,Q2,.,0n =PΛ

1 2 ~ n n n A          =          A有n个线性无 关的特征向量 1 2 , , ,   n A   i i i = 1 2 ( , , , ) P =   n AP       1 1 2 2 n n ( , , , ) = P 1 P AP − =  =  AP P ( n ) n       1 2 1 2 , , ,             1 2 ( , , , ) = A A A   n 证  记 线性无关 = ＝