引例：方程2x2+32+3z2-2y-2xz=1 表示什么曲面？ 一般地，二元二次方程确定一二次曲线，三元二次 方程确定一二次曲面。为研究其性质，常通过可逆 线性变换消去交叉项，化为标准方程 Ax2+By2=D Ax2+By2+C2=D 经济管理中也常需用线性替换将一个元二次齐次 多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。 元二次齐次多项式一二次型 仅含平方项代数和的二次型二次型的标准形 研究工具一矩阵
引例：方程 2 2 2 2 3 3 2 2 1 x y z xy xz + + − − = 表示什么曲面？ 一般地，二元二次方程确定一二次曲线, 三元二次 方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通过可逆 线性变换消去交叉项，化为标准方程 2 2 Ax By D + = 或 2 2 2 Ax By Cz D + + = 经济管理中也常需用线性替换将一个n元二次齐次 多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。 n元二次齐次多项式——二次型 仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵
第五章二次型
第五章 二次型
5.1二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 定义1n元二次齐次多项式 fc1,xn)=41x+2a12x2+2a33++2a1nxn +02+2a23x23+.+22n2式 十。 +a+201 +n号 称为x1,x2,x的一个元)二次型. 为将二次型用矩阵表示，令44开则有：
5.1 二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 2 1 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 2 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n nn n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x − − − − − = + + + + + + + + + + + + 定义1 n元二次齐次多项式 称为x1 , x2 , ., xn的一个(n元)二次型. 为将二次型用矩阵表示，令aij=aji ，则有：
f(化1，.，xn)=4+4122++41nx +422X1+42x2+.+42nX2x 十 +anx.X+n2XnX2十.+annx7 ∑∑4 XiXj 411012 1j1 az l22 W20 X2 =（1,X2)式n） -XTAX 一二次型的矩阵形式
2 1 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 ( , , ) n n n n n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x = + + + + + + + 1 1 n n ij i j i j a x x = = = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x ＝X TA X ——二次型的矩阵形式
记fX)=XAX,称A为二次型fX)的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 注：.二次型矩阵均为对称矩阵(4=A); 2.二次型←对应)对称矩阵. 例1.将二次型c1,x2,)=2x2十x}-423十3x2 写成矩阵形式。 0 X 解 f=(c1X2X3) -2 X2 -2 3 X3
记f (X )＝X TA X，称A为二次型f (X)的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 注:1.二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)； 2.二次型 对称矩阵. 一 一 ⎯⎯→ 对 应 1 2 3 x x x 例1. 将二次型f(x1 , x2 , x3 )＝2x1x2＋x2 2－4x2x3＋3x3 2 写成矩阵形式. 解：f＝(x1 x2 x3 ) 0 1 0 1 1 2 0 2 3 − −