定理122(链式规则)设g在x∈D点可导,即y,y2…,yn在 可偏导,且∫在y°=g(x°)点可微,则 z (x) (y)ax (x)+(y)2(x)+…+ 0(y)a )(x), 上式可以用矩阵表示为 z y2 Oy ay ax 或用向量值函数的导数记号表为 (fog)(x0)=∫(y)g(x)
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 ∈0 x Dg 点可导，即 m ,,, yyy 21 " 在 0 x 点可偏导，且 f 在 )( 0 0 = xgy 点可微，则 )( 0 x i x z ∂ ∂ )()()()( )()( 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 xyxy xy i m i i m x y y z x y y z x y y z ∂ ∂ ∂ ∂ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = " ， = ",,2,1 ni 。 上式可以用矩阵表示为 0 ,,, 21 n xx x z x z x z = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ " 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 ,,, n xx m m m n n m yy x y x y x y x y x y x y x y x y x y y z y z y z = = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = " ### "" " ， 或用向量值函数的导数记号表为 )()()()( 0 0 xgyxg 0 f D ′ = f ′ ′
例1222设:= arctan(xy), y=e,求山 x 解由链式规则 dz az dx az d y x .1+ e(l+x dx ax dx aydx 1+xy 1+x 1+x2e 于是 d
例 12.2.2 设 z = xy),arctan( x y = e ，求 d 0 d x = x z 。 解 由链式规则 2 2 2 2 2 2 ddd e (1 ) 1 e d d d1 1 1e x x x z zx zy y x x x x x y x xy xy x ∂ ∂ + = + = ⋅+ ⋅ = ∂∂ + + + 。 于是 1 d d 0 = x = x z
例1223设:=x,而x=n-2,y=2+,计算, 解 azaz ax az 2x x 2 Ox Ou Oy ou 2(u-2v)2(u-2y)22(l4-2l)(l+3v) 2u+v(2+v) (2+v az 0z Ox az ay 2x (-2) 4(l-2v)(u-2v)(2v-)9+2v) 2l+v(2u+y) (2u+v)
例 12.2.3 设 y x z 2 = ，而 = − = 2,2 + vuyvux ，计算 v z u z ∂ ∂ ∂ ∂ , 。 解 2 2 2 1 2 z zx zy x x u xu yu y y ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + = ⋅+− ⋅ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v u vu v uv uv uv − − −+ =− = ++ + 。 2 2 2 ( 2) 1 z zx zy x x v xv yv y y ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + = ⋅− + − ⋅ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 4( 2 ) ( 2 ) (2 )(9 2 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v vu u v uv uv uv − − −+ =− − = ++ +