又：f)=1. C=1 ∴.f(x)=lnx+1 处的切线方程。 169 【详解】：椭圆方程两边同时对x求导得 x,2 89w=0 2 代入可得y= 5 切线方程为y-3V5- (x-2) 2 4 即：√5x+4y-8V5=0 6.求10sinl0xdk 【详解】：原式=[sinl0xdl0x令u=l0x ∴原式=∫sinudu=-cos4+C=-cosI0x+C 四.解答题（每题10分，共20分） 1.设f(x)= e,x<1 (xx≥10w= x+2,x<0 r-1,x≥0求f[ox. 【详解】：①当x+2<l,即x<-1时f[o(x)]=e+2, ②当x-1<l,又：x≥0，即0≤x<2此时f[p(x)]=e ③当x+2≥1，又：x<0,即-l≤x<0此时f[p(x)]=x+2 ④当x2-1≥1，又：x20,x25此时f[p(x)]=x2-1 ex2 x<-1 x+2 -1≤x<0 ·f[p(x]= er- 0≤x<V2 x2-1 x2v2 2.某乡村计划建一个粮仓，粮仓下部分为圆柱体，上部为半球体。设用于建造圆柱体表面部 分的材料（包含底部）单价为a元/m2,用于建造半球体表面的材料单价为2a元/m2,如 果粮仓只能存储圆柱体部分，且规定粮仓存储量为b,问如何选取圆柱体的尺寸才能使造 价最低。 【详解】：设圆柱体的高和半径分别为h和”，则粮仓的总造价为
又∵ f (1) 1 = ∴ C=1 ∴ f x x ( ) ln 1 = + 5 求椭圆 2 2 1 16 9 x y + = 在点 3 2, 3 2 处的切线方程。 【详解】: 椭圆方程两边同时对 x 求导得 2 0 8 9 x + = yy 将 3 2 3 2 ， 代入可得 3 4 y = − ∴ 切线方程为 3 3 3 ( 2) 2 4 y x − = − − 即： 3 4 8 3=0 x y + − 6. 求 10sin10xdx . 【详解】:原式= sin10 10 xd x 令 =10x ∴原式 = sin = cos cos10 d C x C − + = − + 四. 解答题（每题 10 分，共 20 分） 1.设 , 1 ( ) , 1 x e x f x x x = ; 2 2, 0 1, 0 x x x x x + = − （ ） ,求 f x （ )。 【详解】：①当 x + 2 1 ，即 x −1 时 ( ) x 2 f x e + = , ②当 2 x − 1 1 ，又∵ x 0 ，即 0 2 x 此时 ( ) 2 x 1 f x e − = ③当 x + 2 1 ，又∵ x 0 ，即 -1 0 x 此时 f x x ( ) = + 2 ④当 2 x − 1 1， 又∵ x 0 ， ∴ x 2 此时 ( ) 2 f x x = −1 ∴ ( ) 2 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 2 x x e x x x f x e x x x + − − + − = − 2.某乡村计划建一个粮仓，粮仓下部分为圆柱体，上部为半球体。设用于建造圆柱体表面部 分的材料（包含底部）单价为 a 元/ 2 m ,用于建造半球体表面的材料单价为 2a 元/ 2 m ,如 果粮仓只能存储圆柱体部分，且规定粮仓存储量为 2 bm ,问如何选取圆柱体的尺寸才能使造 价最低。 【详解】：设圆柱体的高和半径分别为 h 和 r ，则粮仓的总造价为
Q=(2πrh+πr2）a+2πr2.2a 又根据题意有πr2.h=b,即h=b ,代入上式得Q=2b +5πar2(r>0) 问题归结于求Q(r)的最小值 Q'(r)=-2ab ,+10πam令Q)）=0得唯一驻点r= b 5π， 为Q(r)的最小值点 时，造价最低 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（三) 答案详解 一.单项选择题（每题3分，共30分） 1.当x→0时，tanx-sinx是x3的 ( A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶无穷小 【解析：li tanx-sinx=lim sec'x-cosx=lim 2sec2 x.tanx+sinx 3x2 ->0 6x 2secx.sinx+sinx lim 2sec2x+1_1 -→0 6x 6 x→0 因此是同阶无穷小，故选D 2.己知f(x)在x=a处可导，那么lim f(a+h)-f(a-2h)_ h→0 h A.0 B.2f'(a) C. f@a D.3f'(a) 【解析】：由导数定义可得原式=lim 0 f(a+hf(a)_f(a-2h)f(@.(-2)-3f(a) h -2h 3.函数y=fx)在点x处可导是fx)在x。处连续的 A.充分不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：由可导性与连续性的关系可知，选A
( ) 2 2 Q rh r a r a = + + 2 2 2 又根据题意有 2 r h b = ,即 2 b h r = ,代入上式得 ( ) 2 2 5 0 ab Q ar r r = + 问题归结于求 Q r( ) 的最小值 ( ) 2 2 10 ab Q r ar r = − + 令 Q r ( )=0 得唯一驻点 1 3 5 b r = ∴ 1 3 5 b r = 为 Q r( ) 的最小值点 ∴ 1 3 5 b r = ， 1 25b 3 h = 时，造价最低 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（三） 答案详解 一．单项选择题（每题 3 分，共 30 分） 1.当 x →0 时， tan x −sin x 是 3 x 的 （ ） A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶无穷小 【解析】： 2 2 3 2 0 0 0 tan sin sec cos 2sec tan sin 3 6 lim lim lim x x x x x x x x x x → → → x x x − − + = = 3 2 0 0 0 2sec sin sin sin 2sec 1 1 6 6 2 lim lim lim x x x x x x x x → → → x x + + = = 因此是同阶无穷小，故选 D 2.已知 f x( ) 在 x a = 处可导 ，那么 0 ( ) ( 2 ) lim h f a h f a h → h + − - = ( ) A． 0 B. 2 ( ) f a C. 1 ( ) 3 f a D. 3 ( ) f a 【解析】：由导数定义可得 原式= 0 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) lim ( 2) h 2 f a h f a f a h f a → h h + − − − − - - =3 ( ) f a 3.函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导是 f (x) 在 0 x 处连续的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：由可导性与连续性的关系可知，选 A
4.当x→0时，lim xsin二=( A.1 B.0 c.-1 D.无法确定 【解析】：当x-→0时，1→o,而sin上是有界函数，故而lim xsin1=0 5.若f-x)=f(x),(x∈R),在(-o,0)内，f(x)>0,f"(x)<0,则fx)在(0，+o) 内有 () Af(x)>0,f"(x)<0 B.f'(x)>0,f"(x)>0 Cf'(x)<0,f"(x)<0 D.f'(x)<0,f"(x)>0 【解析】由题意知x<0,f(x)>0故当x>0时，则-x<0,即f(-x)>0 又f(x)=f(-x)两边同时对x求导，f(x)=一f'(-x)<0 同理，x<0,f"(x)<0故当x>0时，则-x<0,即f"(-x)<0 对f'(x)=-f(-x)两边同时求导，f"(x)=f"(-x)<0 故选C 6.f(x)=xsinx+cosx下列命题中正确的是( ) A.f(O)是极大值，f(二)是极小值 B.f(O)是极小值， f(召)是极大值 C.f(O)是极大值， (孕)是极大值 D.f(O)是极小值， 孕是极小值 【解折上函数)在区间0，上可导，/)=xcos>0在区间0，受上成立， 故函数(x)在区间0，上单调增加，从而矿O)<fx)<f(受)，故选B 7.x(1+lnx)的原函数是( A、1 x-+Inx B.x C.xInx D.x Inx 1+x 2 1 【解析：设y=x,两边取对数得lny=xlnx,两边同时求导得二·y'=lnx+1 所以y'=y(Inx+1)=x(Inx+)故选B 8.函数f(x)=-2x2+7x-6与函数g(x)=-x的图像所围成的面积是(
4.当 x →0 时， = → x x x 1 lim sin 0 （ ） A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 【解析】：当 x →0 时, 1 x → ， 而 1 sin x 是有界函数，故而 0 1 lim sin 0 x x → x = 5.若 f (−x) = f (x) ，（ xR ），在 (−,0) 内， f '(x) 0 ， f ''(x) 0 ，则 f (x) 在 (0,+) 内有 （ ） A. f '(x) 0, f "(x) 0 B. f '(x) 0, f "(x) 0 C. f '(x) 0, f "(x) 0 D. f '(x) 0, f "(x) 0 【解析】： 由题意知 x 0 ， f '(x) 0 故当 x 0 时，则 − x 0 ，即 f '(−x) 0 又 f x f x ( ) ( ) = − 两边同时对 x 求导， f x f x '( ) '( ) 0 = − − 同理， x 0 ， f x ''( ) 0 故当 x 0 时，则 − x 0 ，即 f x ''( ) 0 − 对 f x f x '( ) '( ) = − − 两边同时求导， f x f x ''( ) ''( ) 0 = − 故选 C 6. f x x x x ( ) sin cos = + 下列命题中正确的是（ ） A. f (0) 是极大值， ) 2 ( f 是极小值 B. f (0) 是极小值， ) 2 ( f 是极大值 C. f (0) 是极大值， ) 2 ( f 是极大值 D. f (0) 是极小值， ) 2 ( f 是极小值 【解析】： ( ) [0, ] '( ) cos 0 0 2 2 f x f x x x 函数 在区间 上可导，且 = ＞ 在区间（ ， ）上成立， ( ) [0, ] (0) ( ) ( ), 2 2 f x f f x f B 故函数 在区间 上单调增加，从而 ＜ ＜ 故选 7. (1 ln ) x x x + 的原函数是 （ ） A. 1 1 ln 1 x x x x − + + B. x x C. x x ln D. 1 ln 2 x x x 【解析】： 1 , ln ln , ln 1 x y x y x x y x y 设 = = = + 两边取对数得 两边同时求导得 (ln 1 ln 1 ) ( ) x 所以y y x x x = + = + 故选 B 8.函数 ( ) 2 7 6 2 f x = − x + x − 与函数 g(x) = −x 的图像所围成的面积是（ ）
B.2 D.3 【解析】：C令f(x)=g(x),先求出两个函数图像交点，横坐标：x=1,x2=3,面积为： f-86)=-22+8x-6)s=骨 9. 【解析】：C 方程两边同时对x求导：ey-1+y=0,从而在1,0)处yo,=1+eQ=2 1 1 所以切线为y=-).故选c 10.函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f(x)的图形如图所示，则( A.x,x2都是极值点 B.(,f(x,(x2,f(x2)都是拐点 y=t'x C.x是极值点，(x2,f(x2)》是拐点 D.(x,f(x)》是拐点，x2是极值点 【解析：.·极值点为f'(x)=O,拐点为f"(x)=0,x,为极值点 .A错，(x1,(x)是拐点，B,C错，D对，故选D 二.填空题（每空2分，共20分） 1.lim sin3x x0 sin5x 【解析】： lim sin3x=li m3-3(等价无穷小替换) *0sin5x05x=5 2.若lim 2-2x+k=4,求k的值 x-3 x-3 【解析：由题意得，当x→3，分母为0，则可以采用因式分解法 m-2+ (x-3)(x+h) ~lim =lm(x+h)=4 X→3 x-3 3x-3 故h=1即k=-3 1 1. 3.lim (sin+cos)*= 【解折em+as2r=国(aincos-n+sn到 11 Xx→
A. 3 2 B. 2 C. 3 8 D. 3 【解析】：C 令 f (x) = g(x) ，先求出两个函数图像交点，横坐标： x1 =1, x2 = 3，面积为： ( ( ) ( )) ( ) 3 3 2 1 1 8 2 8 6 3 f x g x dx x x dx − = − + − = 9. 【解析】：C 方程两边同时对 x 求导: 1 0, y e y y − + = 从而在 （1,0） 处 (1,0) (1,0) 1 1 1 2 y y e = = + 1 ( 1), 2 所以切线为y x = − 故选C 10.函数 f (x) 在 a,b 内有定义，其导数 f '(x) 的图形如图所示，则（ ） A. 1 2 x x, 都是极值点 B. ( , ( )),( , ( )) 1 1 2 2 x f x x f x 都是拐点 C. 1 x 是极值点， ( , ( )) 2 2 x f x 是拐点 D. ( , ( )) 1 1 x f x 是拐点， 2 x 是极值点 【解析】： 2 极值点为f x f x x '( 0 ''( ) 0, ）= = ，拐点为 为极值点 1 1 A x f x B C D D 错，( , ( )) , 是拐点， 错， 对，故选 二．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1. 0 sin 3 lim _________ x sin 5 x → x = . 【解析】： ( ) 0 0 sin 3 3 3 lim lim x x sin 5 5 5 x x → → x x = = 等价无穷小替换 2.若 4 3 2 lim 2 3 = − − + → x x x k x ，求 k 的值__________. 【解析】：由题意得，当 x →3 ，分母为 0，则可以采用因式分解法 lim ( ) 4 3 ( 3)( ) lim 3 2 lim 3 3 2 3 = + = − − + = − − + → → → x h x x x h x x x k x x x 故 h =1 即 k = −3 3. + = → x x x x ) 1 cos 1 lim (sin __________. 【解析】： 2 2 2 1 1 1 1 2 lim(sin cos ) = lim[(sin cos ) ] lim(1 sin ) x x x x x x → → → x x x x x + + = +
1 sin2 1 sin2 3 sin2 2、si 2 2、sin2 2 =lim(1+sin二)xx=lim[(1+sin二)x]x=e X 1 sin2 1 =e =e =elxlne =e =dx a2-x 【解析】：因为lim- 1 ==o,所以x=Q为被积函数的无穷间断点，所以 xava-x 5.∫2e+3)dx= 【解折上je+孕dx=2edx+3dxr-2e+3lnlx到+C 6.已知xl+e是f(x)的一个原函数，则f(tanx)sec2xdk= 1 【解析】：Jf(tanx)sec2xdr=Jf(tanx)d tanx= +etanx +c=cotx+etanx +c tanx 7.曲线y=xe*+I的垂直渐近线方程为 ,斜渐近线方程为」 【解析】：1im(xex+)=士o,所以x=0是曲线的垂直渐近线： 2 因为k=lim子 +=1b=lim(xe+)-x=3,所以y=x+3是曲线的斜渐近线。 x→X x→0 8.设(xo,y)是抛物线y=x2+bx+C上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足 的关系是 【解析：因为y'=2ax+b.y'(xo)=2ax+b,所以过(xo,%)的切线方程为 y-yo=(2axo+b)(x-xo),(axo+bxo+c)=(2ax+b)(x-x)
1 2 sin 2 2 2 sin sin sin 1 1 2 lim ln[(1 sin ) ] 2 2 2 2 2 2 2 sin sin lim(1 sin ) lim[(1 sin ) ] x x x x x x x x x x x x x e x x → + → → = + = + = 1 1 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2 2 lim lim [ln(1 sin ) ] lim ln[ lim (1 sin ) ] 2 2 1 ln x x x x x x x x x x x x e e e e e → → → → + + = = = = 4. = − dx a x a 0 2 2 1 __________. 【解析】：因为 2 2 1 lim x a a x → = − ，所以 x = a 为被积函数的无穷间断点，所以 2 lim lim [arcsin ] 1 0 2 2 0 0 2 2 0 0 = = − = − − →+ − →+ a a a a x a x dx dx a x 5. 3 (2 )d x e x x + = ________________ 【解析】： 3 1 (2 )d 2 d +3 d =2 +3ln | | x x x e x e x x e x C x x + = + 6.已知 x x + e −1 是 f (x) 的一个原函数，则 f x xdx = 2 (tan )sec __________. 【解析】： 2 tan tan 1 (tan )sec (tan ) tan cot tan x x f x xdx f x d x e c x e c x = = + + = + + 7.曲线 1 2 = + x y xe 的垂直渐近线方程为_________,斜渐近线方程为__________. 【解析】： 2 0 lim ( 1) x x xe → + = ，所以 x = 0 是曲线的垂直渐近线； 因为 2 1 lim 1 x x xe k → x + = = ， 2 lim[( 1) ] 3 x x b xe x → = + − = ，所以 y = x + 3 是曲线的斜渐近线。 8.设 ( , ) 0 0 x y 是抛物线 y = ax + bx + c 2 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足 的关系是 。 【解析】： 因为 y = 2ax + b.y (x0 ) = 2ax0 + b， 所以过 ( , ) 0 0 x y 的切线方程为 0 0 0 y y ax b x x − = + − (2 ) ( ) ，即 ( ) (2 )( ) 0 0 2 y − ax0 +bx0 + c = ax +b x − x