由于此切线过原点，把x=y=0带入上式，得-，2-bx。-c=-2a2-bx。, 即ax2=c 由于系数a≠0，所以系数应满足的关系为S≥0，b任意 9.设y=f(e)e,其中f(x)可微，则dy_ 【解析：dy=ydk=[f'(e)ee+f(e')e]dk =e[f(e").e'+f(e")dx 三.计算题（每题5分，共30分） 1.已知y=lnV1+x2,求y 【解折上由题有：少=之+)女- 21+x2r=, 1+x 2.sin x cos2 xdx 【解折∫sin2xd=-∫cos2 kdcosx=-- cosx+C 3 3 【解析 片-- 1+x2 【解折血本=-0mx-片mx-0+d0nx-) =-0ax-0+∫=-nx+c lnx、 5.求极限lim( )1-cos.x x→0*X 【解析： 因im(n)点=me学 1 x>0x x-0
由于此切线过原点，把 x = y = 0 带入上式，得 0 2 0 0 2 −ax0 −bx −c = −2ax −bx ， 即 2 0 ax c = 由于系数 a 0 ，所以系数应满足的关系为 b任意 a c 0, 9.设 ( )x x y f e e = ，其中 f (x) 可微，则 dy 。 【解析】： ( ) ( ) x x x x x dy y dx f e e e f e e dx = = + ( ) ( ) x x x x = + e f e e f e dx 三．计算题（每题 5 分，共 30 分） 1. 已知 2 y x y = + ln 1 ,求 【解析】：由题有： 2 2 2 1 1 1 ln(1 ), 2 2 2 1 1 dy x y x x dx x x = + = = + + 2. x xdx 2 sin cos 【解析】： 2 sin cos = x xdx 2 − cos cos = xd x 1 3 cos 3 − +x C 3. 4 2 1 x dx + x 【解析】： ( )( ) 2 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x dx dx dx x x x − + − + + = = + + + 2 3 2 1 1 1 arctan 1 3 x dx x x x C x = − + = − + + + 4. dx x x − 2 ln 1 【解析】： 2 ln 1 1 1 1 (ln 1) (ln 1) (ln 1) x dx x d x d x x x x x − = − − = − − + − 2 1 1 1 (ln 1) ln x dx x C x x x = − − + = − + 5. 求极限 1 1 cos 0 sin lim( ) x x x x + − → 【解析】： 1 1 sin ln| | 1 cos 1 cos 0 0 sin lim( ) lim x x x x x x x e x + + − − → → 因 =
而lim 】nsnx上ims-nx=lim xcoSx-sInx 01-cosx x→0 1-cosx x-→0 xsin2x =lim xcosx-sinx=lim x>0" x3 -所以m点- -0*3x2 6y=-23-5,求y x+1 【解析两边取对数得lny-3n(x-2)+,n(x-5)-,ln(x+1) 3 上式两边关于x球导：y=3 1 1 x-22x-103x+3 整理得：y=x-2-5 3 1 -1 x+I 、x-22x-103x+3 解答题（每题10分，共20分） 1.过曲线y=x(x≥0)上某点A作一切线，使得切线、曲线及x轴围成的面积为 2 求： (1)切点A的坐标 (2)过切点A的切线方程 (3)上述平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体体积 【解析： 设切点为(x0,x),则切线方程为y-x,2=2x(x-x) 切线与x轴的交点坐标为（宁0）。 故所国成的面积为5=本-化-产产=方 2 由已知得 2=2=1故A的坐标为L),切线方程为y-1=2x-) 所得旋转体体视为V=a-∫a2x-l达=员 2.设f(x)在x=0的领域内连续，且lim f(x) -=11,求f'(0)。 x0Vx+36- 【解折：因为x+36-6 f(x) =11，且分母趋于0，相应分子也应该趋于0， 由于f(x)在x=0的领域内连续知f(O)=limf(x)=0
2 0 0 0 1 1 1 cos 3 3 2 0 0 0 1 sin ln | sin | ln | | cos sin lim ln | | lim lim 1 cos 1 cos sin cos sin sin 1 sin lim lim lim( ) 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e x x x + + + + + + → → → − − → → → − − = = − − − − = = = − = 而 ，所以 6. 3 3 1 ( 2) 5 + − − = x x x y ，求 y 【解析】：两边取对数得 ( ) ( ) ( ) 1 1 ln 3ln 2 ln 5 ln 1 2 3 y x x x = − + − − + 上式两边关于x求导： 1 3 1 1 2 2 10 3 3 y y x x x = + − − − + 整理得： ( ) 3 3 2 5 3 1 1 1 2 2 10 3 3 x x y x x x x − − = + − + − − + 解答题（每题 10 分，共 20 分） 1.过曲线 ( 0) 2 y = x x 上某点 A 作一切线，使得切线、曲线及 x 轴围成的面积为 12 1 ，求： （1）切点 A 的坐标 （2）过切点 A 的切线方程 （3）上述平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体体积 【解析】： 设切点为 ( , ) 2 0 0 x x ，则切线方程为 2 ( ) 0 0 2 0 y − x = x x − x 切线与 x 轴的交点坐标为 ,0) 2 ( 0 x ， 故所围成的面积为 3 0 2 0 0 0 0 2 12 1 ) 2 ( 2 0 1 x x x S x dx x x = − − = 由已知得 , 1, 12 1 12 0 3 0 = x = x 故 A 的坐标为 (1,1) ，切线方程为 y −1= 2(x −1) 所得旋转体体积为 30 ( ) (2 1) 1 2 1 2 2 1 0 2 = − − = V x dx x dx 2. 设 f x( ) 在 x = 0 的领域内连续，且 0 ( ) lim 11 36 6 x f x → x = + − ，求 f (0) 。 【解析】：因为 0 ( ) lim 11 36 6 x f x → x = + − ，且分母趋于 0，相应分子也应该趋于 0， 由于 f x( ) 在 x = 0 的领域内连续知 ( ) ( ) 0 0 lim 0 x f f x → = =
所以f'(o)=lim -1@=因-四+-6 f(x)Vx+36-6 x-0 (x+36)-3611 =11.lim- 0xx+36+6)12 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（四） 答案详解 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1、在e'+x-2y=0中，(y')-1的值是多少？ () 2x-e' e'-2x 2x-2 A. B. C. 2x-1 2y-1 2y-1 e'-1 e'-1 【解析】：B对e'+x-2y=0 在等号两边求导得： ey+1-(2y+2y)=0→ye'-2x)=2y-1→y=2y-l e'-2x 2、选出函数y=nx+1的反函数 A.y=Inx+1 B.y=Inx+e* C.y=ex-1 D.y=e--e 【解析：C 由题得hx=y-1三x=e-1∴y=e 3、函数y=h(x+2x-1)的求导结果是() A.2(x+1) B. 1 C.2x+x D.x+1 x2+2x-1 x2+2x-1 x2+2x-1 【解析】：A 产+2r-2x+2)=- 1 2x+2 y'= x2+2x-1 4.设函数g(x)可微，h(x)=e+8),h'(1)=2,g'(①)=3，则g()等于() A.-ln2-1 B.-n3-1 C.In3-1 D.ln2-1 【解析：A由hx)=eg知h(x)=eg[+g(x] 令x=1,可得h(①)=e+8l+g'()] 即g)=-ln2-1
所 以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim x x 0 f x f f x f → → x x − = = − ( ) 0 36 6 lim 36 6 x f x x → x x + − = + − ( ) ( ) 0 36 36 11 11 lim x 36 6 12 x x x → + − = = + + 《医药高等数学》一元微积分学自测试卷（四） 答案详解 一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分） 1、在 2 0 y e x xy + − = 中, 1 ( ) y − 的值是多少？ （ ） A． 2 2 1 y x e y − − B. 2 2 1 y e x y − − C. 2 1 1 y x e − − D. 2 2 1 y x y e − − 【解析】：B 对 2 0 y e x xy + − = 在等号两边求导得： ( ) 2 1 1 2 2 0 ( 2 ) 2 1 2 y y y y e y y xy y e x y y e x − + − + = − = − = − 2、选出函数 y = ln x +1 的反函数 （ ） A. y = ln x +1 B. ln x y x e = + C. x 1 y e − = D. x y e e − = − 【解析】： C 由题得 ln x = y −1 y 1 x e = − x 1 y e = − 3、函数 ln( 2 1) 2 y = x + x − 的求导结果是（ ） A. 2 2( 1) 2 1 x x x + + − B. 2 1 x x + − 2 1 C. 2x + x D. 2 1 2 1 x x x + + − 【解析】： A ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x y x x x x x + = + = + − + − 4. 设函数 g(x) 可微， h(x) = x g ( x) e + ，h'(1) =2， g'(1) =3，则 g(1) 等于 （ ） A.- In2-1 B. -In3-1 C. In3-1 D.In2-1 【解析】： A 由 ( ) ( ) x g x h x e + = 知 ( ) h'(x) e 1 g'(x) x g x = + + 令 x =1 ，可得 '(1) 1 '(1) 1 (1) h e g g = + + 即 g(1) ln 2 1 = − −
5.己知方程x2y2+2y=1(y>0)确定了y为x的函数，则 A.y(x)有极小值，但无极大值 B.y(x)有极大值，但无极小值 C.y(x)既有极大值，又有极小值 D.y(x)无极值 【解析】.B两边同时对x求导22+2242y=0知y=。-2 而y>0故分 2x2y+2 母恒大于零，令y>0x<0y在x<0上单增：令y<0x>0 y在 x>0上单减：故y极大值=y(0)=1且无极小值 6.设函数由方程y=fx2+y)+fx+y)确定，y(0)=2,f(x)可导，f(2)=3, f④=4求y0)等于（) A.0 B.-1 C.1 D.2 【解析1：B y=f'(x2+y2)2x+2y)+'(x+y)1+y) 将0,2)代入y0)=44y0+f2l+yo→y0)=x4yo)+3[+yo] y0=-1 7.若fx)=-f-x),在(0+∞)内(x)>0,f"(x)>0,则在(-o,0)内() A.f'(x)<0,f"(x)<0 B.f'(x)<0,f"(x)>0 C.f'(x)>0,f"(x)<0 D.f'(x)>0,f'(x)>0 【解析】：C由题意知x>0,f'(x)>0故当x<0时，则-x>0,即f'(-x)>0 又f(x)=-f(-x)两边同时对x求导，f(x)=-f(-x(-1)=f'(-x)>0 同理，x>0,"(x)>0故当x<0时，则-x>0,即f"'(-x)>0 对f(x)=f'(-x)两边同时求导，f"(x)=-f"'(-x)<0 8.己知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=f(x),则当n为大于2的正整数
5. 已知方程 2 1( 0) 2 2 x y + y = y 确定了 y 为 x 的函数，则 （ ） A. y(x) 有极小值，但无极大值 B. y(x) 有极大值，但无极小值 C. y(x) 既有极大值，又有极小值 D. y(x) 无极值 【解析】：B 两边同时对 x 求导 2 2 ' 2 ' 0 2 2 xy + x yy + y = 知 2 2 2 ' 2 2 + − = x y xy y 而 y 0 故分 母恒大于零，令 y' 0 x 0 y 在 x 0 上单增； 令 y' 0 x 0 y 在 x 0 上单减；故 y极大值 = y(0) =1 且无极小值 6.设函数 由方程 2 2 y f x y f x y = + + + ( ) ( ) 确定， y(0) = 2, f (x) 可导， f '(2) = 3 ， 4 1 f '(4) = ，求 y'(0) 等于 （ ） A.0 B.-1 C.1 D.2 【解析】： B y' = f '(x 2 + y 2 )(2x + 2yy') + f '(x + y)(1+ y'） 将 （0,2） 代入 (0) y'(0) = f '(4)4y'(0) + f '(2) 1+ y' ( ) ( ) 1 '(0) 4 ' 0 3 1 ' 0 4 = + + y y y y' (0) = −1 7.若 f x f x ( ) ( ) = − − ，在 (0，+) 内 f '(x) 0 ， f ''(x) 0 ，则在 (−，0) 内（ ） A. f '(x) 0, f ''(x) 0 B. f '(x) 0, f ''(x) 0 C. f '(x) 0, f ''(x) 0 D. f '(x) 0, f ''(x) 0 【解析】：C 由题意知 x 0 ， f '(x) 0 故当 x 0 时，则− x 0 ，即 f '(−x) 0 又 f (x) = − f (−x) 两边同时对 x 求导， f '(x) = − f '(−x)(−1) = f '(−x) 0 同理， x 0 ， f ''(x) 0 故当 x 0 时，则− x 0 ，即 f ''(−x) 0 对 f '(x) = f '(−x) 两边同时求导， f ''(x) = − f ''(−x) 0 8. 已知函数 f '(x) 具有任意阶导数，且 f '(x) 2 = f x( ) ，则当 n 为大于 2 的正整数