【详释1m=m。名根据公式1加二心0则0是B的长阶无穷小，所 B2 16x416 以a是B的2阶无穷小。 2.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)图像上的 是 (B) A.(a,-f(a) B.(-a,-f(a) C.(-a,-f(-a)D.(af(-a) 【详解】：.f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),∴.f(-a)=-f(a) 3.设fm)=+lxs1 在x=1处可导，则a,b为 (C) ax+b,x>1 A. a=-2,b=2 B.a=0,b=2 C.a=2,b=0D.a=b=1 【详解】：·f(x)在x=1处可导，∴fx)在x=1处连续，.mar+b=a+b=f0)=2 且f年(1)=f'.(1)=2,.a=2b=0 4.计算极限li sin(x2-1） (A) x-1 A.2 B.1 C.0 D.4 【详解：lm in1lim x2-1 x-1-mx-1=x+)=2 5.设周期函数f)在(~x,)内可导，周期为4，又m0-0-=-1,则曲线 X y=f(x)在(5，f(5)点处的切线斜率为 (A) A.-1 B.1 C.2 D.-2 【详解】： mf0-)-f仙=-1，所以f0=-1,又因为周期为4，所以 x3 -x f'(1)=f'(5)=-1 6.不定积分 、的结果正确的是 (C) Jx2(1+x2 A.taretanx+C B.-arctanx+C C._1_ 1 --arctanx+C D.--+arctanx+C
【详解】： 2 β α lim = 4 4 16 lim x x = 16 1 根据公式 βk α lim =c 0 则α是β的 k 阶无穷小，所 以α是β的 2 阶无穷小。 2. 若函数 y f x x R = ( ) ( ) ， 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x = ( ) 图像上的 是 ( B ) A. ( , ( )) a f a − B. ( , ( )) − − a f a C. ( , ( )) − − − a f a D. ( , ( )) a f a− 【详解】：∵ f (x) 是奇函数，所以 f (x) = − − f x ( ) ，∴ f a ( ) − = − f a( ) 3. 设 2 1, 1 ( ) , 1 x x f x ax b x + = + 在 x =1 处可导，则 a ，b 为 （ C ） A. a b = − = 2, 2 B. a b = = 0, 2 C. a b = = 2, 0 D. a b = =1 【详解】：∵ f (x) 在 x =1 处可导，∴ f (x) 在 x =1 处连续，∴ lim (1) 2 1 + = + = = → ax b a b f x 且 + f ' （1）= − f ' （1）=2，∴ a=2 b=0 4. 计算极限 2 1 sin( 1) lim = x 1 x → x − − （ A ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4 【详解】： 1 sin( 1) lim 2 1 − − → x x x = = − − → 1 1 lim 2 1 x x x lim 1) 2 1 + = → x x （ 5. 设周期函数 f (x) 在 ( , ) −x x 内可导，周期为 4，又 0 (1) (1 ) lim 1 x f f x → x − − = − ，则曲线 y f x = ( ) 在 (5, (5)) f 点处的切线斜率为 （ A ） A. -1 B.1 C. 2 D. -2 【 详 解 】： 1 (1 ) (1) lim 0 = − − − − → x f x f x ，所以 f (1) =-1 ，又因为周期为 4 ，所以 f f (1) (5) 1 = = − 6. 不定积分 2 2 1 (1 ) dx x x + 的结果正确的是 ( C ) A. 1 arctan x C x + + B. 1 arctan x C x − + C. 1 arctan x C x − − + D. 1 arctan x C x − + +
7.下列是函数y= 2x的凹区间的是 (C) Inx A(0,1) B.(1,e2)和(0,1) C.(1,e2) D.(1,e2)和e2,+oo 2lnx-2 2对-22nx-2hx-2hx+4 .4 【详解】：y= =-x x,令y”=0得 (Inx) In3x x=e2此函数定义域为(0,1)U(1,+∞) (0,1) (1,e2) e (e2,+∞) y - 无 + 1 y 凸 无 凹 拐点(e2,e2) 凸 8变限积分广 sin21d的导数为 (B) A.sin2x2-sin2x B.2xsin 2x2-sin 2x C.cos 2x2-cos2x D.2x cos2x2-cos2x 【详解1k广sin2d=sn2d+广sm2h=-sin2x+sin2x(x)=2xsin2x2-in2x 9.1=∫sec'xdx,则I= (A) 2nlsecx+ian+2tanxsecx+C 1 B.Insecx+tanx-Insecx+tanx +C C.Isecx+tanc n-之nsex+iam对+see xtan+C 【样1exh-小女-可m-可n司如，令n-
【详解】：解析:原式= 2 1 dx x 2 1 (1 ) dx x − + 1 = arctan x C x − − + 7. 下列是函数 2 ln x y x = 的凹区间的是 （ C ） A(0，1) B.(1, 2 e )和(0，1) C.(1， 2 e ) D.(1， 2 e )和 ( ,+) 2 e 【详解】： 2 2ln -2 (ln ) x y x = , x x x x x x x x x y 4 3 2 ln 4 ln 2 (ln ) (2ln 2)ln 2 (ln ) x 2 〞 − + = − − = ,令 y =0 得 2 x = e 此函数定义域为（0，1）∪（1，+∞） x （0，1） 1 (1, 2 e ) 2 e ( 2 e ,﹢∞) y - 无 + 1 2 + y 凸 无 凹 拐点（ 2 e ， 2 e ） 凸 8.变限积分 2 sin 2 x x tdt 的导数为 （ B ） A. 2 sin 2 sin 2 x x − B. 2 2 sin 2 sin 2 x x x − C. 2 cos 2 cos 2 x x − D. 2 2 cos 2 cos 2 x x x − 【详解】： 2 2 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 x x x x tdt tdt tdt = + 2 2 2 = − + = − sin 2 sin 2 ) 2 sin 2 sin 2 x x x x x x （ 9. 3 I xdx = sec ，则 I = ( A ) A. 1 1 ln sec tan tan sec 2 2 x x x x C + + + B. 1 ln sec tan ln sec tan 2 x x x x C + − + + C. 1 ln sec tan 2 x x C + + D. 1 1 ln sec tan + sec tan 2 2 − + + x x x x C 【详解】： d x x d x x dx x x dx sin (1 sin ) 1 sin cos 1 cos 1 (sec ) 3 4 2 3 − = = = ，令 sin x = μ
则照式可a--可+时布-=品+ 品+品+c 1 1+sin x 1.1+sin x+C 40+simx为'4"1-simx'41-simx 为+C=ta+n-m为 =Insecx+tanx+tan xsec x+C 2 10.利用导数描绘函数图像所需步骤顺序的正确选项是 (D） ①确定函数图形的水平渐近线，垂直渐近线以及斜渐近线： ②求出函数的定义域，讨论函数的有界性、奇偶性、周期性： ③求出方程f'(x)=0和f"(x)=0在函数定义域内全部实根，用这些实根：同函数的间断 点或导数不存在点把函数定义域划分为几个部分区间： ④求出函数的f'(x)和f"(x)。 ⑤确定这些部分区间内∫'(x)和∫"(x)符号，并用此确定函数单调性和凹凸性。 A.①②③⑤ B.①③④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 【详解】：利用导数描绘函数图形的一般步骤的第一步为②：第二步④+③：第三步为⑤： 第四步为①，故①②③④⑤都是绘图所需步骤 二、 填空题（每小题2分，共20分） 1.设函数f(4)的定义域为0<4≤1，则f(x2)的定义域为一，在区间x∈[1,5]上函 数y=sinx的值域为 【详解1：因为0<x2≤1，所以x∈【1,0U0,: 又因1<号5>，s加子-1，Sm号-1，所以sm的资装为叫 2.定积分心x后-x= 【详解1令x=asin!1e仁受&=d(asi)=acd .∫x2Va-x2dk=∫asin21cos1d(asin)=∫asin2tcos21d 1 a32
则原式= + + = − + + = + = ) μ 1 μ 1 ( 4 1 ) μ 1 μ 1 1 μ 1 ( 4 1 μ (1 μ)(1-μ ) 1 μ 1-μ 1 2 2 2 2 2 d d d d （ ） d d +C − + + + + + = 1 μ 1 4 1 ) 1-μ 1 μ ln 2 1 ( 2 1 1 μ 1 4 1 μ - 1-μ 1 4 1 μ 1-μ 1 2 1 2 （ 2） （ ） 1 1 = ln sec tan tan sec 2 2 x x x x C + + + 10.利用导数描绘函数图像所需步骤顺序的正确选项是 ( D ) ① 确定函数图形的水平渐近线，垂直渐近线以及斜渐近线； ② 求出函数的定义域，讨论函数的有界性、奇偶性、周期性； ③ 求出方程 f x ( ) 0 = 和 f x ( ) 0 = 在函数定义域内全部实根，用这些实根；同函数的间断 点或导数不存在点把函数定义域划分为几个部分区间； ④求出函数的 f x ( ) 和 f x ( ) 。 ⑤确定这些部分区间内 f x ( ) 和 f x ( ) 符号，并用此确定函数单调性和凹凸性。 A. ①②③⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【详解】：利用导数描绘函数图形的一般步骤的第一步为②；第二步④+③；第三步为⑤； 第四步为①，故①②③④⑤都是绘图所需步骤 二、 填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1. 设函数 f ( ) 的定义域为 0 1 ,则 2 f x( ) 的定义域为_____，在区间 x[1,5] 上函 数 y x = sin 的值域为_____. 【详解】：因为 0﹤ 2 x ≤1，所以 x ∈ -1,0)(0,1 ； 又因 1 2 , 3 5 2 . sin 1 2 = ， 3 sin -1 2 = .所以 sin x 的值域为 -1,1. 2. 定积分 2 2 2 0 a x a x dx − = ______. 【详解】：令 sin , ( , ), ( sin cos 2 2 x a t t dx d a t a tdt = − = =） 3 2 2 2 2 4 2 2 x a x dx a t td a t a t tdt − = = sin cos ( sin ) sin cos 4 2 = sin 2 (2 ) 8 a td t = 4 1 ( sin 4 ) 8 4 a t t C − + = 4 4 arcsin sin 4arcsin 8 32 a x a x C a a − +
∴原式= a in4arcsin ]ad_aπ 8 a32 a 08216 3.求8.02的近似值。 【保1折：设儿因=6令气专A02写 由fx+A)=Ax·f'xtfx),f8.02=f8+0.02)=0.02】8i+8≈20017 3 4.已知一个函数F(x)的导函数为 京·且当x时函数值为.则此时的函数为 1 3 【详解1-血=aax4C又：F0=CxF)=arcsin.x+T n2-1 2x2+3 5.limsin(n!) lim- 1+0 3n3+2 →西x4-x+4 11 n2-1 【详解】：①因为sin(nl)是有界量，而lim =1lim”元=0 03n2+23+ 2 n 所以limsin(nl) →0 广-山)=0（无穷小与有界函数的乘机仍是无穷小） 3n3+2 2,3 ②原式=lim + =0 1.4 6.设y=f(e)e其中fx)可微则dy=一· 【详解1：yd=[f'(e)eefo+f(e)ef.f'(xd=e/[f'(e)e+fe)f'(x) 2 7.不定积分 的解为一 1+x+2 【详解1：令u=x+2则x=3-2dx=3udu则有： j,可r-6a-1+n 1+4
∴原式= 4 4 4 4 arcsin sin 4arcsin 8 32 8 2 16 0 a x a x a a a C a a − + = = 3. 求 3 8.02 的近似值_____。 【详解】： 解析: 设 3 f x x ( ) = 令 x0=8 x=0.02 2 3 1 ( )= 3 f x x − 由 f x x x f x f x ( + ) ( )+ ( ) = ，∴ 2 1 3 3 (8.02) (8+0.02)=0.02 8 + 8 2.0017 3 f f − = 4. 已知一个函数 F x( ) 的导函数为 2 1 1− x ，且当 x =1 时函数值为 3 2 .则此时的函数为 _____. 【详解】： 2 1 ( ) arcsin 1 F x dx x C x = = + − 又∵ 3 (1) 2 F = ∴ C= ∴ F x x ( ) arcsin = + 5. 2 3 1 limsin( !)( ) n 3 2 n n → n − = + _______. 2 4 2 3 lim x 4 x → x x + = − + _______. 【详解】：① 因为 sin( !) n 是有界量，而 2 3 1 lim n 3 2 n → n − = + 3 3 1 1 lim 0 2 3 n n n n → − = + 所以 2 3 1 limsin( !)( ) 0 n 3 2 n n → n − = + （无穷小与有界函数的乘机仍是无穷小） ②原式 2 4 3 4 2 3 = lim 0 1 4 1 x x x x x → + = − + 6.设 ( ) ( )x f x y f e e = 其中 f x( ) 可微则 dy =_____· 【详解】： ( ) ( ) ( ) = =[ ( ) ( ) ( )] = [ ( ) ( ) ( )] x x f x x f x f x x x x dy y dx f e e e f e e f x dx e f e e f e f x dx + + 7.不定积分 3 2 1 2 + +x 的解为____. 【详解】：令 3 = 2 x + 则 3 x= 2 − 2 dx d =3 则有： 2 2 3 2 1 1 1 =6 =6 6 ( 1 ) 1 2 1 1 1 d d d x − + = − + + + + + +
6u-laH6i=3pi-6u+6a+小4c=3u-lI+6n+小+C =3(r+2-1)2+6In1+x+2+C 8.曲线f(x)=e+5的水平渐近线是 【详解：mf)=m.(e+5)=6,所以水平渐近线为y=6 X士0 三、计算题（每题5分，共30分） 1.求lima”+42”+a”++ak”(a,a2,,ak>0) 【详解：设a,a,,a中最大值为a,则a≤a”+a,”+…+a4”≤ka”,即 a≤lima”+a”++a”≤imk=a,由夹逼定理得ima“+a”++a”=a 10 2.已知y=V+x+反，求y. 1 【详解】：y= ≡(x+Vx+√F)y 2vx+x+ 1 2Wx+Vx+√F 2+店+网] 1 1+ 1 2Nx+√x+F2Wx+V 3.求由抛物线y=x2,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体 积。 【详解】：取x为积分变量，x∈[0,2]，由旋转体的体积公式可以得到所求旋转体体积为： -fre=号 4设函数y=f)在，+内可导.且f)=1+广fh,求x). 【详解】：由己知可知 fx)=x+∫fx)dk 两边同时对x求导可得 f(x)+xf'(x)=1+f(x) 进一步得到：∫)=1 f(x)=lnlx|+C又，x∈(0，+oo)∴.f(x)=lnx+C
1 2 =6 ( 1 +6 =3 6 6ln 1 1 d d C − − + + + + ） 2 =3 1 6ln 1 （ − + + + ） C 3 3 2 =3 2 1 6ln 1 2 （ x x C + − + + + + ） 8. 曲线 ( ) 5 1 = + x f x e 的水平渐近线是___ _____。 【详解】： 1 lim ( ) lim ( 5) 6 x x x f x e → → = + = ，所以水平渐近线为 y = 6 三、计算题（每题 5 分，共 30 分） 1.求 lim , , , 0 1 2 3 1 2 ( ) n n n n n k k n a a a a a a a → + + + + 【详解】：设 1 2 , , , k a a a 中最大值为 a,则 1 2 n n n n n n n n k a a a a ka + ++ ,即 1 1 2 lim lim n n n n n k n n a a a a a k a → → + + + = ，由夹逼定理得 2 1 lim n n n n k n a a a a → + ++ = 2．已知 y x x x = + + ,求 y 。 【详解】: 1 2 y x x x xxx = + + + + （ ） 1 1 [1 2 2 x x xxx x x = + + + + + （ ） ] 1 1 1 [1 1 2 2 2 x x x xxx = + + + + + （ ）] 3.求由抛物线 2 y x = ，直线 x =2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体 积。 【详解】: 取 x 为积分变量， x0,2 ,由旋转体的体积公式可以得到所求旋转体体积为： 2 2 2 4 0 0 32 ( ) 5 V f x dx x dx = = = 4.设函数 y f x = ( ) 在 (0,+) 内可导。且 1 1 ( ) 1 ( ) x f x f x dx x = + ,求 f x( ) 。 【详解】:由已知可知 1 ( ) ( ) x xf x x f x dx = + 两边同时对 x 求导可得 f x xf x f x ( )+ ( ) 1 ( ) = + 进一步得到： 1 f x( ) x = f x x C ( ) ln | | = + 又∵ x + (0, ) ∴ f x x C ( ) ln = +