例1.在R"中,对于向量 a=(a,a2,…,an),B=(④,b2b) 1)定义(a,B)=a1b1+a2b2+…+an (1) 易证(a,月)满足定义中的性质1~4 所以(a,B)为内积 这样R对于内积(a,B)就成为一个欧氏空间 (当n=3时,1)即为几何空间R中内积在直角 坐标系下的表达式.(a,B)即a,月.)
6 例1．在 R n 中，对于向量 = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 所以 ( , ) 为内积. 当 n = 3 时，1）即为几何空间 中内积在直角 3 ( R 坐标系下的表达式 . ( , ) . 即 ) 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , ) 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b （1）
2)定义 (a,B)=a1b1+2a2b2+…+kabk+…+nanb 易证(a,B满足定义中的性质1~4 所以(a,y也为内积 从而R对于内积(a,B)也构成一个欧氏空间 注意:由于对va·B∈V,未必有(a,B)=(a,B) 所以1),2)是两种不同的内积 从而R对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间
7 2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n = + + + + + a b a b ka b na b 所以 ( , ) 也为内积. 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , ) 由于对 V, 未必有 ( , ) ( , ) 注意： = 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～
例2.C(a,b)为闭区间,b上的所有实连续函数 所成线性空间,对于函数∫(x),g(x),定义 ( 8)=f(x)8(x)dx (2) 则C(a,b)对于(2)作成一个欧氏空间 证:Vf(x),g(x),h(x)∈C(a,b),Vk∈R 1.(, 8)=f(x)g(x)dx=g(x)f(x)dx=(g,) 2.(kf, 8)=kf(x)(x)dx=k f(xg(x)dx k(f, 8)
8 例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx = （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f === 2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx = = = k f g ( , )
3:(f+g,)(f(x)+(x)M(x)ac b f(xhh(x)dx+g(x)h(x)dx (∫,h)+(g,h) b 4.(f,f)=f2( r)ar ∫(x)≥0, (∫,∫)≥0. 且若∫(x)≠0,则∫2(x)>0,从而(f,∫)>0 故(,f)=0分∫(x) 因此,(f,g)为内积,C(a,b)为欧氏空间
9 3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx + = + ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a = + f x h x dx g x h x dx = + ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx = 2 f x( ) 0, ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0, 则 2 f x( ) 0, 从而 ( , ) 0. f f 故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x = = 因此， ( , ) f g 为内积， C a b ( , ) 为欧氏空间
2.内积的简单性质 V为欧氏空间,Va,B,y∈V,Vk∈R 1)(a, kB)=k(a,B),(ka, kB)=k(a, B) 2)(a,B+y)=(a,B)+(a,y) 推广:(a,∑G)=z(a,月) 3)(0,B)=0
10 ( ) 2 1) ( , ) ( , ), , ( , ) k k k k k = = 2) ( , ) ( , ) ( , ) + = + 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i = = = 3) (0, ) 0 = 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， , , , V k R