定理2对 f(x)、g(x)e P[x]，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且 d(x)可表成 f(x) g(x)的一个组合，即3u(x)、v(x)E P[xl，使d(x)=u(x) f(x) + v(x)g(x).区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 定理2 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ． f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、 u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = +
证：若 f(x)、g(x肩一为0，如 g(x)=0，则 f(x)就是一个最大公因式.且 f(x)=1.f(x)+0·g(x)考虑一般情形：f(x)±0， g(x)0,用g(x)除f(x)得:f(x)= qi(x)g(x)+r(x)其中 (r(x)<a(g(x) 或 r(x)=0.若r(x)±0，用r(x)除g(x)，得:g(x) = q2(x)r(x)+r2(x)区区下81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0，如 g x( ) 0 = ，则 f x( ) 就是一个最大公因式．且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). = + 考虑一般情形： f x g x ( ) 0, ( ) 0, 用 g x( ) 除 f x( ) 得： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 1 或 r x 1 ( ) 0 = . 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0 ，用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ，得： 证：
其中 a(r(x)<a(r(x)或 r(x)=0 .若r(x)±0，用r(x)除r(x)，得r(x) = q3(x)r(x)+r(x),如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，即0(g(x) >0(r(x) >(r(x))>.因此，有限次后，必然有余式为0．设r+1(x) = 0.于是我们有一串等式R口F81.4最大公因式
§1.4 最大公因式 若 r x 2 ( ) 0 ，用 r x 2 ( ) 除 r x 1 ( ) ，得 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 1 ( ) 0. s r x + = 其中 ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = ． …… 1 2 即 ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x …… 于是我们有一串等式