例2求,:x=1(09y=1sm:=0≤ 解由积分公式 +y?2+2 2dt=[t2+t2 dt 2+t6
例2 求 0 zds, : x t cost, y tsin t,z t,0 t t . Γ Γ = = = ≤ ≤ ∫ 解 由积分公式 ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 0 0 3/ 2 3/ 2 2 2 0 2 1 1 2 2 2 2 . 3 3 t t t t t zds t x y z dt t t dt t t Γ = + ′ ′ + ′ = + ⎡ ⎤ = + = + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫
例3求 (2a-ydx+xdy, L: x=a(t-sint), y=a(1-cost ),t: 0->2T 解由积分公式 (2a-y)cr+daly faltcosta(1-cost)+a(t-Sint)asint'dt cos t+tsint-sin tdt a tsintdt=-2rd
例3 求 (2 , ) : ( sin ), (1 cos ), :0 2 . L a y − dx+xdy L x = − a t t y = − a t t → π ∫ 解 由积分公式 ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 cos 1 cos sin sin 1 cos sin sin sin 2 . L a y dx xdy a t a t a t t a t dt a t t t t dt a t tdt a π π π π − + = + − + − = − + − = =− ∫ ∫ ∫ ∫
例4求(csmy-2y+)+(y=2:(x-y+y 取上半圆周,取逆时针。 解作L1:y=0,x:0-)2a,由此构成封闭曲线, P=e sin y-2y, Q=e cos y-2,Q-P=2, (smy-2y+)+(2y-2b=2n r( sin y-2y)dx +(e" cos y-2luy ,,(e sin y-2y) dx+(e cos y-2) dy-2a 2do=Ta-2a
例4 求 ( ) ( ) ( )2 2 2 sin 2 1 cos 2 , : , x x L e y− +y dx+ e y− dy L x−a + y = a ∫ 取上半圆周，取逆时针。 解 作L1：y=0, x: 0→2a，由此构成封闭曲线， sin 2 , cos 2, 2, x x P e x y = −y y Q = e y− Q −P = ( ) ( ) 1 sin 2 1 cos 2 2 , x x L e y y − + dx+ e y− dy = a ∵ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 2 2 . x x L x x L L D e y y dx e y dy e y y dx e y dy a d a σ π a + ∴ − + − = − + − − = = − ∫ ∫ ∫∫ v
例5求摆线的重心(p=c),摆线方程 sIn 0<t<兀 y=a(1-cost) 解曲线质量 M=Lpds= p2a(1-cost)dt 2pal. sin odt=4ap 对y轴和对x轴的静矩分别为
例5 求摆线的重心(ρ=c)，摆线方程 ( sin ) , 0 . (1 cos ) x a t t t y a t π ⎧ = − ⎨ ≤ ≤ ⎩ = − 解 曲线质量 ( ) 2 0 0 2 1 cos 2 sin 4 . 2 L M ds a t dt t a dt a π π ρ ρ ρ ρ = = − = = ∫ ∫ ∫ 对y轴和对x轴的静矩分别为
moods Jo pa( COS 1)y2a2(1-cos) pa sin-coSt ldt sin -t+ sin dt dt 16 L exds= pa(t-sin\2a2(1-cost)dt L ords=/ 2pa b tsin -sin t sin t
( ) 2 0 2 0 2 0 2 ( 1 co s ) 2 1 co s 2 s i n s i n c o s 2 2 1 3 1 2 4 s i n s i n 2 2 2 16 . 3 x L M yds a t a t dt t t a t d t a t t dt d t a π π π ρ ρ ρ ρ ρ = = − − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 0 2 0 ( s i n ) 2 1 c o s 2 sin s i n sin 2 2 y L M xd s a t t a t d t t t a t t d t π π ρ ρ ρ = = − − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫