例3计算由曲线y2=2x和y=x-4所围成的图形的面积yy? = 2xy+dy解两曲线的交点y[y? =2x0Xy=x-4y=x-4 (2,-2), (8,4)选为积分变量yE[-2,4]Ly+4-:dA = 18.dA =A=dy2-2
解 两曲线的交点 (2,2), (8,4). 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[2, 4] dy y dA y 2 4 2 18. 4 2 A dA 2 3 2 4 . 例 计算由曲线y x y x 和 所围成的 图形的面积 x y 2x 2 o y y x 4 y y d y
x = p(t)如果曲边梯形的曲边为参数方程(y =y(t)曲边梯形的面积A = I" f(x)dx = I~y(t)p'(t)dt.(其中α和β对应曲线起点和终点的参数值)在[α,β]或[β,α]上x=β(t)具有连续的导数y=y(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) ( ) . b a A f x dx t t dt (其中 和 对应曲线起点和终点的参数值) [ ] [ , ] ( ) ( ) . x t y t 在 , 或 上 具有连续的导数， 连续
L例4 求椭圆1的面积+62x=acost解椭圆的参数方程y=bsint由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积A = 4f" ydx =4f" bsintd(acos t)2sin tdt = πab.= 4ab
解 椭圆的参数方程 y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． a A ydx 0 4 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt 2 0 2 4 sin ab. 2 2 2 2 4 1 . x y a b 例 求椭圆 的面积
2、极坐标系情形0+de设由曲线p=β(0)及射线p= β(0)0=β=α、=β围成一曲边扇形de求其面积.这里β(0)在[α,β]上连续，且β()≥0.?X0:=α面积元素 dA=[(0)do6曲边扇形的面积 A=[,lo(0)"de
o x d d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d ( ) 2、极坐标系情形 ( ) . ( ) [ , ] ( ) 0. 设由曲线 及射线 、 围成一曲边扇形， 求其面积 这里 在 上 连续，且
例5 求由双纽线p2=a2cos20所围成的图形的面积解日由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积4y=xAA=4A24=acos20cos2d0 = a?4A=a02
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 . 2 a y x cos2 2 2 a A1 2 2 5 cos 2 . 例 求由双纽线 a 所围成的 图形的面积