二、曲面的面积设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)eD则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z)处小切平面的面积dA无限积累而成设它在D上的投影为do，则do = cosy·dACOSy=1+ fx?(x, jy)+ f,2(x, y)dA= /1+ fx'(x,y)+ f,(x,y) doV（称为面积元素小区回结束
M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d 机动 目录 上页 下页 返回 结束
故有曲面面积公式A= [J /1+ f?(x, y)+f,2(x,y) doOZ即dxdy若光滑曲面方程为 x=g(y,z),(y,z2)εDyz,则有axdxdydzCAE
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若光滑曲面方程为 y= h(z,x),(z,x)ε Dx,则有d.2y? dzdxozax若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,z)=0,且 F,≠0,则FFazaz(x,y)e DFaxa1N22AHdxd y目录机动上页下页返回结束
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dx d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R2所截出的面积 A解：曲面在xoy面上投影为D:x2+y2<R2,则1+zdxdy+z.一4/1+x? + y?dxdydel/1+p?pdpR2元/(1?A-结乐
例4. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + d 1 d 0 2 2 0 = + R [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 = + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习.计算半径为α的球的表面积asin de解：方法1利用直角坐标方程(教材P109)-de方法2利用球坐标方程asind设球面方程为 r=αadp球面面积元素为1dA=α sindpdedeA=αsin @d@=4元αA机动目录返回结束上页下页
练习. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a a sin ad 方法2 利用球坐标方程. a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法1 利用直角坐标方程. (教材 P109)