《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第4章 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩

例2 设矩阵 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 A= 4-62 -2 4 3 6 -9 7 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 上页 回

            − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不

解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 11-2 13】 初等行变换 01 -1 10 A 00 00 0 - 0 知R(A)=3, 故列向量组的最大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零元在1、2、4三列， 故41,2，a4,为列向量组的一个最无关组

解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ，               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组

事实上 2 -1 1 111 （4,42,04)1 11 初等行变换 011 4-6 -2 001 36 000 知R(a1,a2,a4)=3,故a1,2,a4线性无关 要把a3,a用a1,a2,a,线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵， 上页 回

知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上               − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1               0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~

10 -1 0 4 01 -1 0 3 A初等行变换 00 0 1 -3 00 0 0 0 即得 3=-41-42, a5=4a1+302-3a4

              − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换    = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得

三、向量组秩的重要结论 定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向 量组B的秩不大于向量组4的秩 证设向量组B的一个最大无关组为B:b1,.,b, 向量组A的一个最大无关组为A:41,4,要证 r≤S. 因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性 表示，A组能由A组线性表示 故B,组能由A组线性表示 即存在系数矩，=(k),使得 回

. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r  向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ，  证  定理２ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 即存在系数矩阵Ksr = (kij ),使得 三、向量组秩的重要结论