《常微分方程》课程教学大纲一、课程信息课程名称：常微分方程OrdinaryDifferentialEquation课程代码：06S1111B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：64学时课程学分：3.5学分修读学期：第4学期先修课程：数学分析、高等代数二、课程目标常微分方程是数学的一个重要分支，也是数学理论联系实际的重要渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起来的。随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论日益丰富，富有生命力。常微分方程是数学与应用数学专业的一门专业必修课，是理论性、应用性很强的一门课程。通过该课程的学习，不仅使学生获得常微分方程的基本概念、掌握其基本理论和主要方法，培养和训练学生的运算技能；还通过一些成功利用微分方程解释实际现象问题的著名范例以及使用Matlab软件进行实验，培养学生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从而培养学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力，为学生在创新能力培养等方面获得重要的平台。常微分方程基本内容包括初等积分法，常微分方程的一般理论，线性微分方程，线性微分方程组，定性与稳定性理论初步等。先修课程为数学分析、高等代数等课程。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.熟练掌握微分方程及其阶、解、定解条件等概念，深刻理解解的存在唯一性定理、延拓思想等基础理论。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】
《常微分方程》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：常微分方程 Ordinary Differential Equation 课程代码：06S1111B 课程类别：专业核心课程/必修课 适用专业：数学与应用数学 课程学时：64学时 课程学分：3.5学分 修读学期：第4学期 先修课程：数学分析、高等代数 二、课程目标 常微分方程是数学的一个重要分支，也是数学理论联系实际的重要渠道之一 ，它是与微积分同时产生和发展起来的。随着科学技术和数学各分支的发展，常 微分方程的理论日益丰富，富有生命力。常微分方程是数学与应用数学专业的一 门专业必修课，是理论性、应用性很强的一门课程。通过该课程的学习，不仅使 学生获得常微分方程的基本概念、掌握其基本理论和主要方法，培养和训练学生 的运算技能；还通过一些成功利用微分方程解释实际现象问题的著名范例以及使 用Matlab软件进行实验，培养学生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能 力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从而培养学生综合运用所学知识分 析和解决问题的能力，为学生在创新能力培养等方面获得重要的平台。常微分方 程基本内容包括初等积分法，常微分方程的一般理论，线性微分方程，线性微分 方程组，定性与稳定性理论初步等。先修课程为数学分析、高等代数等课程。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 熟练掌握微分方程及其阶、解、定解条件等概念，深刻理解解的存在唯 一性定理、延拓思想等基础理论。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】
2.熟练掌握一阶微分方程（线性方程、变量分离方程、齐次方程、伯努利方程、全微分方程、特殊的隐式方程等）、高阶常系数线性微分方程、常系数线性微分方程组的初等解法，掌握特殊方程积分因子的求法、变量代换的方法、降阶的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3、4.3】3.熟练掌握线性微分方程解的性质与结构、一阶线性微分方程组解的性质与结构等，掌握平面线性方程组奇点的类型，理解几乎线性系统的定义，熟练判断几乎线性系统奇点类型及稳定性，具备一定的逻辑论证能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3、4.3】4.了解常微分方程的实际背景与应用，能够自觉地用微分方程的思想去观察生活，建立简单的数学模型，解决生活中有关的较复杂数学问题。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3、7.3（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、课程目标13.学科素养清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践3. 学科素养的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素课程目标 24.教学能力养。3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科3. 学科素养主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、课程目标34.教学能力清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法
2. 熟练掌握一阶微分方程（线性方程、变量分离方程、齐次方程、伯努利 方程、全微分方程、特殊的隐式方程等）、高阶常系数线性微分方程、常系数线 性微分方程组的初等解法，掌握特殊方程积分因子的求法、变量代换的方法、降 阶的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。【支撑毕业要求指标 点3.1、3.2、3.3、4.3】 3. 熟练掌握线性微分方程解的性质与结构、一阶线性微分方程组解的性质 与结构等，掌握平面线性方程组奇点的类型，理解几乎线性系统的定义，熟练判 断几乎线性系统奇点类型及稳定性，具备一定的逻辑论证能力。【支撑毕业要求 指标点3.1、3.2、3.3、4.3】 4. 了解常微分方程的实际背景与应用，能够自觉地用微分方程的思想去观 察生活，建立简单的数学模型，解决生活中有关的较复杂数学问题。【支撑毕业 要求指标点3.1、3.2、3.3、7.3】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3. 学科素养 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科 主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观 想象、数据分析等数学学科的专业能力。 课程目标 2 3. 学科素养 4. 教学能力 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科 主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践 的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养。 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观 想象、数据分析等数学学科的专业能力。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 课程目标 3 3. 学科素养 4. 教学能力 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科 主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法
3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践3. 学科素养的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素课程目标4养。7.学会反思3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排第一章引论讲授法、讨论法课程目标14第二章一阶微分方程20讲授法、讨论法、探究式、启发式课程目标2、4第三章二阶及高阶微分方程16讲授法、讨论法、探究式、启发式课程目标2、3、4第四章微分方程组讲授法、讨论法、探究式、启发式课程目标2、3、416第五章非线性微分方程组讲授法、讨论法、探究式课程目标3、48合计64 学时（二）具体内容第一章引论(4学时)【教学目标与要求】1、教学目标：
3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践 的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养。 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观 想象、数据分析等数学学科的专业能力。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 课程目标 4 3. 学科素养 7. 学会反思 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科 主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 3.2【学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践 的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养。 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观 想象、数据分析等数学学科的专业能力。 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分 析和解决数学教育教学中的问题。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 引论 讲授法、讨论法 课程目标 1 4 第二章 一阶微分方程 讲授法、讨论法、探究式、启发式 课程目标 2、4 20 第三章 二阶及高阶微分方程 讲授法、讨论法、探究式、启发式 课程目标 2、3、4 16 第四章 微分方程组 讲授法、讨论法、探究式、启发式 课程目标 2、3、4 16 第五章 非线性微分方程组 讲授法、讨论法、探究式 课程目标 3、4 8 合计 64 学时 （二）具体内容 第一章 引论(4学时) 【教学目标与要求】 1、教学目标：
掌握微分方程及其阶、解、定解条件等概念，理解解的存在唯一性定理、延拓思想等基础理论。2、教学要求：1）理解微分方程、常微分方程、阶、解、通解、特解的概念，熟悉微分方程的表示形式。2）理解一阶方程解的存在唯一性定理，掌握用皮卡逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本方法。【教学重点与难点】1、教学重点：微分方程的基本概念，解的存在唯一性定理。2、教学难点：解的存在唯一性的证明思想。【教学内容】1.1微分方程的概念和实例1.2解的存在唯一性定理【思政元素融入点】结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的奋进精神。微分方程发展史的概述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法；通过数学发明创造推动科学技术发展的动人故事、数学家精神的展现，培养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观。第二章一阶微分方程（20学时）【教学目标与要求】1、教学目标：要求熟练掌握一阶微分方程（线性方程、变量分离方程、齐次方程、伯努利方程、全微分方程、特殊的隐式方程等）的初等解法，掌握特殊方程积分因子的求法、变量代换的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。2、教学要求：1）熟练掌握分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程的求解方法。2）理解常数变易法的基本思想。3）熟练掌握全微分方程的判别条件及求解方法，掌握寻求积分因子的基本方法
掌握微分方程及其阶、解、定解条件等概念，理解解的存在唯一性定理、延 拓思想等基础理论。 2、教学要求： 1) 理解微分方程、常微分方程、阶、解、通解、特解的概念，熟悉微分方 程的表示形式。 2) 理解一阶方程解的存在唯一性定理，掌握用皮卡逐步逼近法证明解的存 在唯一性定理的基本方法。 【教学重点与难点】 1、教学重点：微分方程的基本概念，解的存在唯一性定理。 2、教学难点：解的存在唯一性的证明思想。 【教学内容】 1.1 微分方程的概念和实例 1.2 解的存在唯一性定理 【思政元素融入点】 结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的奋进精神。微分方程发展史 的概述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想 方法；通过数学发明创造推动科学技术发展的动人故事、数学家精神的展现，培 养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观。 第二章 一阶微分方程（20学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 要求熟练掌握一阶微分方程（线性方程、变量分离方程、齐次方程、伯努利 方程、全微分方程、特殊的隐式方程等）的初等解法，掌握特殊方程积分因子的 求法、变量代换的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。 2、教学要求： 1) 熟练掌握分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程的求解 方法。 2) 理解常数变易法的基本思想。 3) 熟练掌握全微分方程的判别条件及求解方法，掌握寻求积分因子的基本 方法
4）能够利用变量替换法求解方程。5）熟练掌握y或x解出、不显含x或y的一阶隐式方程的求解方法。6）会用所学方程解决简单的实际问题。【教学重点与难点】1、教学重点：分离变量法、常数变易法、积分因子法、变量替换法等初等解法，全微分方程的求解方法，简单一阶隐式方程的求解方法。2、教学难点：变量替换法在求解微分方程中的应用。【教学内容】2.1线性方程2.4变量替换法2.2变量可分离的方程2.5一阶隐式微分方程2.3全微分方程2.6一阶微分方程的应用【思政元素融入点】了解课程内容涉及到的历史人物，激发学习兴趣。灵活掌握常微分方程的基本求解方法，建立科学的数学思维能力和研究探索精神。利用向量场判断积分曲线的几何意义，达到事半功倍的效果，培养学生通过现象看本质的逻辑思维。第三章二阶及高阶微分方程（16学时）【教学目标与要求】1、教学目标：熟练掌握高阶常系数线性微分方程的初等解法，掌握特殊方程变量代换的方法、降阶的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。掌握线性微分方程解的性质与结构，具备一定的逻辑论证能力。了解常微分方程的实际背景与应用，能够自觉地用微分方程的思想去观察生活，建立简单的数学模型，解决生活中有关的数学问题。2、教学要求：1）了解线性微分方程、复值函数等基本概念。2）熟练掌握特殊类型高阶微分方程的降阶法。3）理解齐次、非齐次线性方程解的性质和结构，掌握常数变易法。4）熟练掌握常系数线性齐次方程的解法，掌握非齐次常系数线性方程特解的求法
4) 能够利用变量替换法求解方程。 5) 熟练掌握y或x解出、不显含x或y的一阶隐式方程的求解方法。 6) 会用所学方程解决简单的实际问题。 【教学重点与难点】 1、教学重点：分离变量法、常数变易法、积分因子法、变量替换法等初等 解法，全微分方程的求解方法，简单一阶隐式方程的求解方法。 2、教学难点：变量替换法在求解微分方程中的应用。 【教学内容】 2.1 线性方程 2.4 变量替换法 2.2 变量可分离的方程 2.5 一阶隐式微分方程 2.3 全微分方程 2.6 一阶微分方程的应用 【思政元素融入点】 了解课程内容涉及到的历史人物，激发学习兴趣。灵活掌握常微分方程的基 本求解方法，建立科学的数学思维能力和研究探索精神。利用向量场判断积分曲 线的几何意义，达到事半功倍的效果，培养学生通过现象看本质的逻辑思维。 第三章 二阶及高阶微分方程（16学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 熟练掌握高阶常系数线性微分方程的初等解法，掌握特殊方程变量代换的方 法、降阶的方法、常数变易法等，具备一定水平的科学计算能力。掌握线性微分 方程解的性质与结构，具备一定的逻辑论证能力。了解常微分方程的实际背景与 应用，能够自觉地用微分方程的思想去观察生活，建立简单的数学模型，解决生 活中有关的数学问题。 2、教学要求： 1) 了解线性微分方程、复值函数等基本概念。 2) 熟练掌握特殊类型高阶微分方程的降阶法。 3) 理解齐次、非齐次线性方程解的性质和结构，掌握常数变易法。 4) 熟练掌握常系数线性齐次方程的解法，掌握非齐次常系数线性方程特解 的求法