《点集拓扑》课程教学大纲一、课程信息课程名称：点集拓扑Point Set Topology课程代码：06S1115B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：48学时课程学分：2学分修读学期：第5学期先修课程：数学分析二、课程目标《点集拓扑》是现代数学的重要分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构，进而又讨论了在这一框架下空间的性质。通过本课程的学习，让学生在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，提高他们的数学素养。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.理解掌握拓扑空间、连续映射、邻域、基与子基等概念及性质。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】2.掌握生成拓扑的几种重要方法，熟悉由已知拓扑构造新拓扑的重要方法。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】3.掌握拓扑空间的几个最为重要的拓扑性质一连通性、可数性、分离性等。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】4.理解拓扑学与其他学科中的相关问题之间的联系，掌握拓扑学独特的处理问题的思想方法，学习把这种思想方法运用到中学数学教学之中。【支撑毕业要求指标点8.3】
《点集拓扑》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：点集拓扑 Point Set Topology 课程代码：06S1115B 课程类别：专业核心课程/必修课 适用专业：数学与应用数学 课程学时：48学时 课程学分：2学分 修读学期：第5学期 先修课程：数学分析 二、课程目标 《点集拓扑》是现代数学的重要分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而 形成一个集合的拓扑结构，进而又讨论了在这一框架下空间的性质。通过本课程 的学习，让学生在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的抽象性 及高度概括性，力求活跃其数学思想，提高他们的数学素养。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 理解掌握拓扑空间、连续映射、邻域、基与子基等概念及性质。【支撑 毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】 2. 掌握生成拓扑的几种重要方法，熟悉由已知拓扑构造新拓扑的重要方法 。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】 3. 掌握拓扑空间的几个最为重要的拓扑性质—连通性、可数性、分离性等 。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】 4. 理解拓扑学与其他学科中的相关问题之间的联系，掌握拓扑学独特的处 理问题的思想方法，学习把这种思想方法运用到中学数学教学之中。 【支撑毕 业要求指标点8.3】
（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系支撑的毕业要求课程目标支撑的毕业要求指标点3.1【知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。课程目标13. 学科素养3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。3.3【专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。3.1【知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3. 学科素养课程目标23.3【专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目7.学会反思标导向的数学学习指导方法与策略。7.1【学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发晨的能力。3.1【知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的课程目标33. 学科素养建构有正确、清晰、合理的认识。3.3【专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。8.3【学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重课程目标48.沟通合作要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排第二章拓扑空间与连续映射18讲投法、讨论法、探究式课程目标1、2、3、4第三章子空间、（有限）积10讲投法、讨论法课程目标1、2、3、4空间、商空间第四章连通性10讲投法、讨论法课程目标1、2、3、4
（二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3. 学科素养 3.1【知识素养】 具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专 业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3.2【学科融合】 了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系， 认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 3.3【专业技能】 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目 标导向的数学学习指导方法与策略。 课程目标 2 3. 学科素养 7. 学会反思 3.1【知识素养】 具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专 业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3.3【专业技能】 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目 标导向的数学学习指导方法与策略。 7.1【学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不 断学习和适应发展的能力。 课程目标 3 3. 学科素养 3.1【知识素养】 具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专 业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3.3【专业技能】 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目 标导向的数学学习指导方法与策略。 课程目标 4 8. 沟通合作 8.3【学习共同体】 理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重 要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第二章 拓扑空间与连续映射 讲授法、讨论法、探究式 课程目标 1、2、3、4 18 第三章 子空间、（有限）积 空间、商空间 讲授法、讨论法 课程目标 1、2、3、4 10 第四章 连通性 讲授法、讨论法 课程目标 1、2、3、4 10
2第五章有关可数性的公理讲投法、讨论法课程目标1、2、3、48第六章分离性公理讲投法、讨论法课程目标1、2、3、4合计48 学时（二）具体内容第二章拓扑空间与连续映射（18学时）【教学目标与要求】1、教学目标：本章建立了点集拓扑的许多最基本的概念，为学习点集拓扑的核心内容打下基础。通过本章的学习，使学生理解拓扑、拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念和性质；理解拓扑空间中的一些基本概念及相关性质，能够认识到拓扑学的中心任务是研究拓扑空间的拓扑不变性质。2、教学要求：1）掌握拓扑及拓扑空间的概念及典型例子。2）掌握拓扑空间之间的连续映射的概念，掌握同胚的概念。3）理解并掌握拓扑空间中的基本概念，如开集、邻域、导集、闭包、闭集、内部、基与子基等。4）熟悉生成拓扑的几种重要方法。【教学重点与难点】1、教学重点：拓扑空间、连续映射、邻域、导集、闭包、基与子基、连续映射的等价刻画。2、教学难点：拓扑空间概念的建立及证明、特殊拓扑空间的不可度量化的判别，连续映射的等价刻画、导集概念、基的定义及判别。【教学内容】2.1度量空间与连续映射2.4导集，闭集，闭包2.2拓扑空间与连续映射2.5内部、边界2.3邻域与邻域系2.6基与子基【思政元素融入点】
第五章 有关可数性的公理 讲授法、讨论法 课程目标 1、2、3、4 2 第六章 分离性公理 讲授法、讨论法 课程目标 1、2、3、4 8 合计 48 学时 （二）具体内容 第二章 拓扑空间与连续映射（18学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 本章建立了点集拓扑的许多最基本的概念，为学习点集拓扑的核心内容打下 基础。通过本章的学习，使学生理解拓扑、拓扑空间、连续映射、同胚映射的概 念和性质；理解拓扑空间中的一些基本概念及相关性质，能够认识到拓扑学的中 心任务是研究拓扑空间的拓扑不变性质。 2、教学要求： 1) 掌握拓扑及拓扑空间的概念及典型例子。 2) 掌握拓扑空间之间的连续映射的概念，掌握同胚的概念。 3）理解并掌握拓扑空间中的基本概念，如开集、邻域、导集、闭包、闭集 、内部、基与子基等。 4）熟悉生成拓扑的几种重要方法。 【教学重点与难点】 1、教学重点：拓扑空间、连续映射、邻域、导集、闭包、基与子基、连续 映射的等价刻画。 2、教学难点：拓扑空间概念的建立及证明、特殊拓扑空间的不可度量化的 判别，连续映射的等价刻画、导集概念、基的定义及判别。 【教学内容】 2.1 度量空间与连续映射 2.4 导集，闭集，闭包 2.2 拓扑空间与连续映射 2.5 内部、边界 2.3 邻域与邻域系 2.6 基与子基 【思政元素融入点】
本章是点集拓扑的理论基础，起着特别重要的作用，其概念多又抽象，概念把握不清，定理就理解不清。而理解概念是学习点集拓扑的最低要求之一。国家政策中的培养目标中含有一个是教育教学能力，这个也可以通过点集拓扑的学习来体现。在具体的中学数学教学工作中，数学教师语言的组织要有条理，特别是概念、例题的讲解要思路清晰、逻辑性强，而这样的教学能力可以通过点集拓扑这样的课程来培养。第三章子空间、（有限）积空间、商空间（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：本章介绍构造拓扑空间的三种常用方法。通过本章的学习，使学生掌握由已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的方法：理解拓扑学的处理问题的思想方法，并学习把这种思想方法运用到中学数学教学之中。2、教学要求：1）掌握子空间、有限积空间、商拓扑的概念，理解子空间、有限积空间的性质。2）理解商映射的概念、性质及应用。【教学重点与难点】1、教学重点：子空间和有限积空间的定义及性质、商拓扑的概念、商映射的概念及其性质。2、教学难点：积拓扑及其性质、商空间、商映射的性质及其应用。【教学内容】3.1子空间3.4商空间3.2（有限）积空间第四章连通性（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：
本章是点集拓扑的理论基础，起着特别重要的作用，其概念多又抽象，概念 把握不清，定理就理解不清。而理解概念是学习点集拓扑的最低要求之一。国家 政策中的培养目标中含有一个是教育教学能力，这个也可以通过点集拓扑的学习 来体现。在具体的中学数学教学工作中，数学教师语言的组织要有条理，特别是 概念、例题的讲解要思路清晰、逻辑性强，而这样的教学能力可以通过点集拓扑 这样的课程来培养。 第三章 子空间、（有限）积空间、商空间（10学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 本章介绍构造拓扑空间的三种常用方法。通过本章的学习，使学生掌握由已 知的拓扑空间构造新的拓扑空间的方法；理解拓扑学的处理问题的思想方法，并 学习把这种思想方法运用到中学数学教学之中。 2、教学要求： 1) 掌握子空间、有限积空间、商拓扑的概念，理解子空间、有限积空间的 性质。 2) 理解商映射的概念、性质及应用。 【教学重点与难点】 1、教学重点：子空间和有限积空间的定义及性质、商拓扑的概念、商映射 的概念及其性质。 2、教学难点：积拓扑及其性质、商空间、商映射的性质及其应用。 【教学内容】 3.1 子空间 3.4 商空间 3.2 （有限）积空间 第四章 连通性（10学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标：
掌握隔离子集、不连通空间、连通空间、连通子集、连通分支的概念；掌握不连通空间的等价刻画；掌握连通性的拓扑不变性，理解连通性的限可积性、可商性：掌握连通子集、连通分支的判定方法。2、教学要求：1）掌握空间（子集）连通与不连通的概念。2）会用连通性定义证明给定的集合是否连通。3）对于连通的集合或不连通的集合，会判别其子空间、积空间的连通性。【教学重点与难点】1、教学重点：连通空间、连通子集的定义、性质和判别。2、教学难点：空间连通性和子集连通性的判别及证明，连通分支的判别。【教学内容】4.1连通空间4.3连通分支【思政元素融入点】第四、第五和第六章是连贯的，这三章除了概念多，证明也多且贯穿始终。理解证明也是学习点集拓扑的最低要求之一，要求能把握证明的逻辑结构。要证什么，已知什么，结论和条件的等价形式有哪些，如何选取，证明的关键技巧和基本框架分别是什么，上述这些训练，可以培养师范生的最基础的数学素养一逻辑思维能力。第五章有关可数性的公理（2学时）【教学目标与要求】1、教学目标：通过本章的学习，使学生理解可数性公理的定义，掌握可数性公理的性质及它们之间的关系；掌握满足可数性公理的拓扑空间有关连续性映射的不变性、有限可积性、可遗传性。2、教学要求：理解第一和第二可数性的概念，掌握可数性公理的性质及它们之间的关系。【教学重点与难点】1、教学重点：第一和第二可数性公理的概念、性质及关系。2、教学难点：第一和第二可数性的判别
掌握隔离子集、不连通空间、连通空间、连通子集、连通分支的概念；掌握 不连通空间的等价刻画；掌握连通性的拓扑不变性，理解连通性的限可积性、可 商性；掌握连通子集、连通分支的判定方法。 2、教学要求： 1) 掌握空间（子集）连通与不连通的概念。 2) 会用连通性定义证明给定的集合是否连通。 3）对于连通的集合或不连通的集合，会判别其子空间、积空间的连通性。 【教学重点与难点】 1、教学重点：连通空间、连通子集的定义、性质和判别。 2、教学难点：空间连通性和子集连通性的判别及证明，连通分支的判别。 【教学内容】 4.1 连通空间 4.3 连通分支 【思政元素融入点】 第四、第五和第六章是连贯的，这三章除了概念多，证明也多且贯穿始终。 理解证明也是学习点集拓扑的最低要求之一，要求能把握证明的逻辑结构。要证 什么，已知什么，结论和条件的等价形式有哪些，如何选取，证明的关键技巧和 基本框架分别是什么，上述这些训练，可以培养师范生的最基础的数学素养—逻 辑思维能力。 第五章 有关可数性的公理（2学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 通过本章的学习，使学生理解可数性公理的定义，掌握可数性公理的性质及 它们之间的关系；掌握满足可数性公理的拓扑空间有关连续性映射的不变性、有 限可积性、可遗传性。 2、教学要求： 理解第一和第二可数性的概念，掌握可数性公理的性质及它们之间的关系。 【教学重点与难点】 1、教学重点：第一和第二可数性公理的概念、性质及关系。 2、教学难点：第一和第二可数性的判别