第二节标准正交基 设V是一个n维欧氏空间，在V中取定一个 基为 12 则对于V中任意两个向 量 和，有 a=xa+x,a+…+x,an=∑x,a B=ha+y+…+yan=∑a 从而由内积的性质，得 a,=2a2a,=22,a 1
第二节 标准正交基 设V 是一个n 维欧氏空间，在V 中取定一个 基为 1 , 2 , …, n，则对于V 中任意两个向 量 和 ，有 = = + + + = n i x x xn n xi i 1 11 2 2 ... = = + + + = n i n n i i y y y y 1 11 2 2 ... 从而由内积的性质，得 = = = = = = n i n j n i n j i i j j i j i j x y x y 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ,
上式表明 与的内积可以通过基向量之间 的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。 若令 (a,aj）=(,j=1,2,…,n0 记 (a1,1)(a1,a2）. (a,a) (a2,a1）(a2,a2).… (a2,an） A- (an,a) (a,a).() 011 12 n L21 L22 … A2n An2 回
上式表明 与 的内积可以通过基向量之间 的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。 若令 ( , ) a (i, j , ,...,n) i j = ij = 1 2 记 = ( , ) ( , ) ... ( , ) ............................................... ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) n n n n n n A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = n n nn n n a a a a a a a a a ... ........................ ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1
则 与 的内积可表示 (a,B)=X'AY 其中 X=(c,x2…,x),Y=(0y1,y2,Jyn) 分别为 在基 1 2,n下的坐标 向量， 称陈A为基 21,3,4是岭度量梅阵的 一个基，其度量矩阵为 2 -3 0 1 -3 6 0 -1 A= 0 0 13 9 1 -1 9
则 与 的内积可表示 为 X AY T (, ) = 其中 T n T n X (x , x ,...,x ) ,Y ( y , y ,..., y ) = 1 2 = 1 2 分别为 ， 在基 1 , 2 , …, n下的坐标 向量， 称矩阵A 为基 1 , 2 , …, 例1 设 1， 2， 3， 4是欧氏空间 n 的度量矩阵。V 的 一个基，其度量矩阵为 , − − − − = 7 9 1 1 9 13 0 0 1 0 6 3 1 0 3 2 A
a=a1+a3-2a4,B=2c1+a3-3a4 是V中的两个向量，试求（，)， 解 (a,B)=X'AY(2 -3 0 1 =(1,0,1,-2） 03 6 0 -1 20, 0 13 9 9 7 =(0,-1, -5,-4) 201 =7 3 回
是V 中的两个向量，试求（ , ）. = 1 +3 − 2 4 = 21 +3 − 3 4 , 解 X AY T (, ) = ( ) − − − − − = − 3 1 0 2 7 9 1 1 9 13 0 0 1 0 6 3 1 0 3 2 1, 0, 1, 2 ( ) 7 3 1 0 2 0 1 5 4 = − = , − , − , −
容易看出，如果度量矩阵A是单位矩阵E, 那末向量内积的表达形式最简单。 定义5在欧氏空间V中，一组非零的两两正交 的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。 定义6在n维欧氏空间V中，由n个两两正交 的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由 单位向量构成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基单位化就得到一组标准正交 基。设 13 233 n是一个标准正交基，由 定义，有 1,i=i a,a,)=dg=0,i≠j
容易看出，如果度量矩阵 A 是单位矩阵E, 那末向量内积的表达形式最简单。 定义5 在欧氏空间V 中，一组非零的两两正交 的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。 定义6 在n 维欧氏空间 V 中，由 n 个两两正交 的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由 单位向量构成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基单位化就得到一组标准正交 基。设 1 , 2 , …, n 是一个标准正交基，由 定义，有 = = = i j i j i j ij , , ( , ) 0 1