dy例3=-+解方程Y观察得该方程为齐次微分方程，采取设提示与分析：中间变量的方法齐次微分方dy程解/1-() +.dx矛盾转化法xXdzdy，则y=z,令z==z+x1dxdxxdz化简dz.方程化为+ z.xz+xdxdx变量分离dx,dz :=arcsinz+C, = In x,xV1-z
d 解方程 d 2 1 ( ) . y y y x x x 例3 = − + 解 d d 2 1() y y y x x x = − + 提示与分析: 观察得该方程为齐次微分方程，采取设 中间变量的方法. 齐次微分方 程 令 ， y z x = 则y zx = ， d d d d , y z z x x x = + 方程化为 d d 2 1 , z z x z z x + = − + 矛盾转化法 d d y x d d y x d d 2 1 , z x z x = − 化简 d d 2 1 1 , 1 z x z x = − 1 arcsin ln , z C x + =
反解xearcsinzarcsin z +C, = In xx=yarcsinyxxx=Cearcsin-综上,原微分方程的通解为x=Cex
1 arcsin ln , z C x + = 反解x e e 1 arcsin , C z x = C e arcsin . y x x C= y z x = 综上 原微分方程的通解为 e arcsin , . y x x C=
(s)dyI2dx例4()+2-2求解微分方程"y2 +2xy -2x表示成x的齐次方程，运算简便.提示与分析：dx=-2(一)解:1+2化为x的齐次方程dyy1dxdzx令Z=则x = zy,=Z+17dydyydz化简dz.1+z-2z2= 1+2z - 2z方程化为z+ydydy变量分离dz2dyJd2z+11-z(2z +1)(1- z)y
求解微分方程 的通解 2 2 2 . 2 2 y y y xy x = + − 例4 提示与分析: d d 2 2 ( ) ( ) 2 2 y y x x y y x x = + − 表示成x的齐次方程，运算简便. 解 2 2 2 dx y xy x 2 2 dy y + − = 令 ， x z y = 则x zy = ， d d d d , y z z y x y = + 方程化为 化为x的齐次方程 d d x y d d 2 1 2 , z y z z y = + − 化简 d d 2 1 2 2( ) , x x x y y y = + − d d x y d d 2 1 2 2 , z z y z z y + = + − d d , (2 1)(1 ) z y z z y = + − 变量分离 d d 1 2 1 ( ) 3 2 1 1 y z z z y + = + −
反解y2z+12z +1n= ln y+C1C. y3,1-71-zx2x+ yy: Cy'(y-x)2x + y综上，原微分方程的通解为Cy'(y-x)
1 1 2 1 ln ln , 3 1 z y C z + = + − 反解y e 1 2 1 3 3 , 1 z C y z + = − C 3 2 . ( ) x y C y y x + = − x z y = 综上 原微分方程的通解为 3 2 , . ( ) x y C y y x + = −