第五节曲线积分
第五节 曲线积分
一、第一型曲线积分例1设曲线L的长度为l，线密度为μu（u为常数），则曲线L的质量为ul.如果曲线L的线密度为二元函数μ(x,J),(x,y)e L，如何求曲线L的质量?X
一 、第一型曲线积分 , ( ), . ( , ) 1 ,( , ) , L l L l L x y x y L L 设曲线 的长度为 线密度为 为常数 则 曲线 的质量为 如果曲线 的线密度为二元 函数 如 例 何求曲线 的质量?
分析采用求曲边梯形一样的思路，先把曲线L任意分割成n个小曲线段△l,(i=1,2,,n)，仍用△l表示第i个小段的长度，在每个小曲线段上任取一点曲线（5,,n,），则第i个小曲线段的质量△m,~μ(5,,n,)△l,，曲线L的总质量近似于M -ZAm, ~Zu(5,n,)Al,i=1I令=max[△1,},则M = limμ(5,n,)A,2-0i=1
1 1 1 0 , ( 1,2, , ), , ( , ), ( , ) , ( , ) lim ( , ) , =max{ }, . n i i i i i i i i i i i n n i i i i i i i i L n l i n l i i m l L M M l l l m → = = = = = = 采用求曲边梯形一样的思路 先把曲线 任意 分割成 个小曲线段 仍用 表示第 个小段的长度 在每个小曲线段上任 取一点曲线 则第 个小曲线段的质量 曲线 的总质量近似于 令 则 分析
定义设L为xOy面上一条光滑（或分段光滑）的曲线段，二元函数f(x,y)定义在曲线L上，将曲线L任意分割为n个小曲线段△l.(i=1,2,..,n)仍用△l.表示第i个小段的长度，在每个小曲线段上任取一点(5;,n;)，令=max[△l,}，如果Zf(5,n,)N,存在, ，则称此极限值为函数lim2→0i=1f(x,J)在L上的第一型曲线积分(或称对弧长的曲线积分),记作[,f(x,y)dl.即nZr(5,n)Al,.J,f(x,y)dl = lim1-0i=-1其中，日曲线L称为积分路径
0 1 ( ) , ( , ) , ( 1,2, , ), , ( , ), =max{ }, lim ( , ) , ( , ) ( ), ( , ) i i i i i n i i i i L L xOy f x y L L n l i n l i l f l f x y L f x y dl → = = 设 为 面上一条光滑 或分段光滑 的曲线 段 二元函数 定义在曲线 上 将曲线 任意分割为 个小曲线段 仍用 表示第 个小段的长度 在每个小曲线 段上任取一点 令 如果 存在 则称此极限值为函数 在 上的第一型曲线积分 或称对弧长 的曲线积分 记作 定义 0 1 ( , ) lim . . , . ( , ) n i i i L i f x y dl f L l → = = 即 其中 曲线 称为积分路径
第一型曲线积分存在的充分条件若f(x,y)在光滑曲线L上连续，则第一型曲线积分存在显然，dl=l（1为曲线L的弧长）
若 f x y L ( , ) , 在 第一型 光滑曲线 上 曲线积分存在的充分 连续 则第一型曲线 积 条件 分存在. , = ( ) L dl l l L 显然 为曲线 的弧长