第四节三重积分
第四节 三重积分
Z(C1(Si,ni,S)1
i ( , , ) i i i
一、 三重积分的概念定义设三元函数u=f(x,,z)在空间Oxyz中的一个有界闭区域Q上有界(I)将任意分割成n个小区域:△2,A2,…,A2,，其中第i个小区域的体积为△y(2)在每个△2,上任取一点(5,,n;5)nLf(5,ni,5.)Av,.(3)做和i-1和式的(4)如果当个小闭区域直径的最大值一→0时，极限总存在，则称f(x,y,z)在区域Q上可积，并称该极限值为函数u=f(x,y,z)在区域Q上的三重积分，记作Jl (x, ,z)dv
一 、三重积分的概念 1 2 1 ( , , ) . (1) : , , , , . (2) ( , , ). (3) ( , , ) . (4) 0 , , ( , , ) , ( , , n i i i i i n i i i i i u f x y z Oxyz n i v f v f x y z u f x y = = → = 设三元函数 在空间 中的一个有界 闭区域 上有界 将 任意分割成 个小区域 其 中第 个小区域的体积为 在每个 上任取一点 做和 如果当个小闭区域直径的最大值 时 和式的 极限总存在 则称 在区域 上可积 并称 该极限值为函数 定义 ) , ( , , ) . z f x y z dv 在区域 上的三重积 分 记作
积分变量积分区域Zf(5,ni,5i)Av,m@0@-lim2->0i=12体积元素被积函数积分和式
被积函数 体积元素 积分区域 积分和式 积分变量 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dv f v → = =
三重积分存在的条件及其性质与一重积分类似必要条件：函数在有界闭区域上有界充分条件：函数在有界闭区域上连续
三重积分存在的条件及其性质与二重积分类似 必要条件: 函数在有界闭区域上有界; 充分条件: 函数在有界闭区域上连续