例5f:{1,2}-{0},f(1)=f(2)=0,是满射的, 不是单射的.f:N→N,f(x)=2X,是单射的,不 是满射的.f:乙→乙,f(x)=×+1,是双射的.特别 地,①:①→B是单射的,Φ:Φ→①是双射的 给定两个集合A和B,是否存在从A到B的双射函数? 怎样构造从A到B的双射函数?这是两个很重要的问 题.第一个问题在下一章讨论.下面举例说明第 个问题
• 例5 f：{1，2}→{0}，f(1)=f(2)=0，是满射的， 不是单射的．f：N→N，f(x)=2x，是单射的，不 是满射的．f：Z→Z，f(x)=x+1，是双射的．特别 地，：→B是单射的，：→是双射的． • 给定两个集合A和B，是否存在从A到B的双射函数? 怎样构造从A到B的双射函数?这是两个很重要的问 题．第一个问题在下一章讨论．下面举例说明第 二个问题
例6对下列的集合A和B,分别构造从A到B的双射函数: A=R,B=R,R是实数集 (②A=R,B=R={×X∈R^X>0 3A=[0,1),B=(1/4,1/2]都是实数区间 4)A=NXN, B=N (1)令千:R→R,fx)=X (2)令千:R→R+,f( (3)令f:[0,1)-(14,1/2],f(x)=1/2-X/4
• 例6 对下列的集合A和B，分别构造从A到B的双射函数： (1)A＝R，B＝R，R是实数集． (2)A=R，B=R+={x|x∈R^x>0}． (3)A＝[0，1)，B=(1/4,1/2]都是实数区间． (4)A＝NXN，B＝N． 解 (1)令f：R→R，f(x)＝x (2)令f：R→R+，f(x)＝e x． (3)令f:[0，1)→(1/4,1/2]，f(x)＝1/2—x/4
(4)NX是由自然数构成的所有有序对的集 合.这些有序对可以排列在直角坐标系 象限中,构成一个无限的点阵.如图所 示,构造要求的双射函数,就是在点阵中 有序对与N的元素间建立一一对应,也就是 把点阵中有序对排成一列并依次编号0,1, 2
• (4)NXN是由自然数构成的所有有序对的集 合．这些有序对可以排列在直角坐标系— 个象限中，构成一个无限的点阵．如图所 示．构造要求的双射函数，就是在点阵中 有序对与N的元素间建立一一对应，也就是 把点阵中有序对排成一列并依次编号0，1， 2，…．
(0,0〉 〈1,0 〈2,0〉 0,1〉 (1,1〉 〈2,1) 〈3,1) 〈0,2) 〈1,2〉 2,2 (0,3〉 〈0,4)
小小中元素的排列次序是:<0,0>,<0,1>,<1,0 2,0>,<0,3> 图中用 表示次序,这相当于f(<0,0>)=0,f(<0,1>)=1,f(<1 0>)=2,f(<0 显然 所在的斜线上有m+n+1个点.在此斜线上 方,各行元素分别有1,2,…,m+n个,这些元素排在 以前.在此斜线上,m个元素排在<m,n>以 排在<m,n>以前的元素共有[1+2+.+(m+n)+m 于是,双射函数f:NXN→N为 f(<m,n>)=(m+n)m+n+1/2+m, 对无限集合A,若存在从A到N的双射函数,就可仿照这种 方法,把A中元素排成一个有序图形,按次序数遍A中元 素,这就构造了从A到N的双射函数
NXN中元素的排列次序是：<0，0>，<0，1>，<1，0>， <0，2>，<1，1>，<2，0>，<0，3>，…．图中用箭头 表示次序．这相当于f(<0，0>)=0，f(<0，1>)＝1，f(<1， 0>)＝2，f(<0，2>)＝3，…． 显然，(m，n)所在的斜线上有m+n+1个点．在此斜线上 方，各行元素分别有1，2，…，m+n个，这些元素排在 <m，n>以前．在此斜线上，m个元素排在<m，n>以 前．排在<m，n>以前的元素共有[1+2+…+(m+n)]+m 个．于是，双射函数f：NXN→N为 f(<m，n>)＝(m+n)(m+n+1)/2十m， 对无限集合A，若存在从A到N的双射函数，就可仿照这种 方法，把A中元素排成一个有序图形，按次序数遍A中元 素．这就构造了从A到N的双射函数．