定义11,1.2对集合A和B,从A到B的所有函数的集合记为A有的书记 ff:A→B} 例3对A={1,2,3},B={a,b}.从A到B的函数有8个: ={<1,a>,<2,a>,<3,a>} f2={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f={<1 2,b>,<3,a>} 阵={<1,a>,<2,b>,<3,b> 5=区1,b>,<2,a>,<3,a>} f6={<1,b>,<2,a>,<3,b>} 7={<1,b>,<2,b>,<3,a>} f8={<1,b>,<2,b>,<3,b>} 于是AB={f1,f2,f3,…,f8}
• 定义11.1.2 对集合A和B，从A到B的所有函数的集合记为AB (有的书记 为B A)．于是，AB＝{f|f：A→B}． • 例3 对A＝{1，2，3}，B＝{a，b}．从A到B的函数有8个： f1={<1，a>，<2，a>，<3，a>} f2={<1，a>，<2，a>，<3，b>} f3={<1，a>，<2，b>，<3，a>} f4={<1，a>，<2，b>，<3，b>} f5={<1，b>，<2，a>，<3，a>} f6={<1，b>，<2，a>，<3，b>} f7={<1，b>，<2，b>，<3，a>} f8={<1，b>，<2，b>，<3，b>} 于是 AB＝{f1，f2，f3，…，f8}
若A和B是有限集合,且|A|=m,|B|=n, 则AB|=m.从Φ到Φ的函数只有f=①,从 ①到B的函数只有f一Φ.若A≠,从A到Φ的 函数不存在,因此,Φa=ΦB={},A= (对A≠①)
• 若A和B是有限集合，且|A|＝m，|B|＝n， 则|AB|＝n m．从到的函数只有f＝，从 到B的函数只有f＝．若A≠，从A到的 函数不存在．因此，=B={}，A ＝ (对A≠)．
定义11.1.3设f:A→B,A1A,定义A1在f下的 象代A山为A1]=(x)(x∈A^y=f×),把fA 为函数的象, )设BB,定义B1在f下的完全原象f1B1]为 fB1={×X∈A^f(x)∈B1} 注意,在上一章f1表示f的逆关系.这个定义中的 f[B1表示完全原象,可以认为其中的f1是f的逆 关系,因为函数的逆关系不一定是函数,所以f1 表示逆关系,不是逆函数(除非特别说
• 定义11.1.3 设f：A→B，A1A，定义A1在f下的 象f[A1]为f[A1]={y|(x)(x∈A1^y=f(x))}，把f[A] 称为函数的象， • 设B1B，定义B1在f下的完全原象f -1 [B1]为 f -1 [B1]＝{x|x∈A^f(x)∈B1} • 注意，在上—章f -1表示f的逆关系．这个定义中的 f -1 [B1]表示完全原象，可以认为其中的f -1是f的逆 关系，因为函数的逆关系不一定是函数，所以f -1 一般只表示逆关系，不是逆函数(除非特别说 明)．
例4f:Z→Z定义为 当x为偶数 f(x) 斗x为奇数 fN]=N,f{-1,0,1」={-1,0} -[:2,3}=〈4,5,6,7 特别地 [的]=f[必]=
L112特殊的函数 等价关系利函数都是特殊的关系,同样可以定义一些特殊 的函数,它们是具有某种性质的函数, 定义11.1.4设f:A→B )ran(f)=B,则称f是满射的,或称f是A到B上的, (2若对任意的×1,x2∈A,X1#x2,都有f(×1)(X2),则称f 是单射的,或内射的,或一对一的, (3)若f是满射的又是单射的,则称f是双射的,或一对一A到B 的.简称双射 如果f:A→B是满射的,则对任意的y∈B,存在x∈A,使 f(x)=y.如果f:A→B是单射的,则对任意的y∈ran(f), 存在唯一的x∈A,使fx)=y
11.1. 2 特殊的函数 • 等价关系利函数都是特殊的关系．同样可以定义一些特殊 的函数，它们是具有某种性质的函数， • 定义11．1．4 设f：A→B． (1)若ran(f)＝B，则称f是满射的，或称f是A到B上的， (2)若对任意的x1，x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f 是单射的，或内射的，或—对一的， (3)若f是满射的又是单射的，则称f是双射的，或一对一A到B 上的．简称双射． • 如果f：A→B是满射的，则对任意的y∈B，存在x∈A，使 f(x)＝y．如果f：A→B是单射的，则对任意的y∈ran(f)， 存在唯一的x∈A，使f(x)＝y．