广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.2 补充例题

5.2中心极限定理补充1某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元.若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率解设X为一年中投保老人的死亡数福则 X ~ B(n,p),雅其中n=10000, p= 0.017,由莫弗－拉普拉斯定理知

在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设X为一年中投保老人的死亡数, 则 X ~ B(n, p), 其中n = 10000, 由棣莫弗－拉普拉斯定理知, 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加, 每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡, 公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017, 试求保险公司 p = 0.017, 补充1

5.2中心极限定理保险公司亏本的概率P10000X>10000×200 =P(X >200)X-np200 - npP一np(1-p)np(1 -p)X-npP> 2.321-(np(1 -p)~ 1 - @Φ(2.321) ~ 0.01

P{10000X  10000 200} = P{X  200}       − −  − − = (1 ) 200 (1 ) np p np np p X np P        − − = 2.321 np(1 p) X np P  1 −(2.321)  0.01 . 保险公司亏本的概率

5.2中心极限定理补充2设随机变量X，XX，相互独立且X在区间(-1,1)上服从均匀分布(i =1, 2,…,n),试证当_-x近似服从正态n充分大时，随机变量Z，=ni=l分布，并指出其分布参数证 记Y, = X,,(i=1,2,",n)E(Y) =E(X)) = D(X,) =3'D(Y) = E(Y?)-[E(Y)}= E(X) -[E(Y)}

并指出其分布参数. 证 , ( 1,2, , ) 2 记Yi = Xi i =  n ( ) E Yi = = ( ) D Yi = , , , , 设随机变量 X1 X2  Xn 相互独立 且 Xi在 区 间(−1, 1) 上服从均匀分布(i = 1, 2,  , n),试证当 n 充分大时, 随机变量  近似服从正态 = = n i n i X n Z 1 1 2 分布, = ( ) 2 E Xi ( ) D Xi , 3 1 = 2 2 ( ) [ ( )] E Yi − E Yi ( ) [ ( )] . 4 2 E Xi − E Yi 补充2

5.2中心极限定理因为 E(xi)=,x-号dx,=所以 D(M)=-()-云因为 Xi,X2,…,X,相互独立所以Y,Y2,,Y,相互独立根据独立同分布的中心极限定理，n.Z, -Zx, =Zyi-1i=-1

( ) 4 因为 E Xi = ( ) 所以 D Yi = , , , , 因为 X1 X2  Xn 相互独立 , , , . 所以 Y1 Y2  Yn 相互独立 根据独立同分布的中心极限定理， = −  1 1 4 d 2 1 xi xi , 5 1 = 2 3 1 5 1       − , 45 4 n Zn  =  = = n i i X 1 2 = n i i Y 1

5.2中心极限定理n 4n近似服从正态分布N3'45(345n)故Z近似地服从正态分布N

, 45 4 , 3       n n 近似服从正态分布N . 45 4 , 3 1       n 故 Z 近似地服从正态分布N