2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 「P(x)d+(x,n) Px,+F面 其中F=P+,凼=+dy 上或
2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + . = L F ds
4推广 空间有向曲线弧r[P+Q小+Rh 压x)k地 庄syx3)=如∑0) i=1 R(x, y, z)d=lim 久→>0 ∑R(,n, i=1 上或
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 「Pd+gd=[P+Q+P+h (2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的 有向曲线弧则 庄』P(xD+Qx,)h=JP(x,+x 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 上或
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
生三、对坐标的曲线积分的计算 王定理设Px(x在曲线孤上有定义且连 续,L的参数方程为 ∫x=(当参数单调地由a变 =y() 庄到时点M(x从的起点沿运动到终点B (2y()在以a及为端点的闭区间上具有阶连 续导数且g2(t)+y(1)≠0,则曲线积分 P(x,y)dx+Q(x,y)小存在, 上或
三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 + + = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L 定理
P(x, y)dx+e(x, y)dy 生(0)yomo)m 特殊情形 王(∠:y=(x)x点为,终点为b 牛则.Pa+d=!{Px,y(x)+,y(x)p(x)lt (2:x=x0):点为a,终点为M 则∫P+b!P以m()+xy 上或
P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) = + + 且 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = + (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + = +