分都积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法—分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转
一、基本内容 问题∫xe*=? 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数， (uv)=uv+uv,uv=(uv)-uv, ∫v'k=w-∫twk,∫u=uv-∫d 分部积分公式
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
注分部积分公式的特点：等式两边山，y互换位置 分部积分公式的作用：当左边的积分「udw 不易求得，而右边的积分∫容易求得 利用分部积分公式一化难为易 例1求积分∫cosxdx. 解（一) 令u=cosx,xdk=d2=dw ∫rowt-若sr+5sini咖 显然，山，y'选择不当，积分更难进行
注分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置 分部积分公式的作用：当左边的积分 udv 不易求得，而右边的积分 vdu 容易求得 利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然，u,v选择不当，积分更难进行
解（二)令u=x,cosx=dsinx=dw xcosxd-fxdsinx=xsinx-fsinxde =xsinx+cosx+C. 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择山，y 一般来说，W,y选取的原则是： (1)积分容易者选为y (2)求导简单者选为W 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分
解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： （1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分
例2求积分∫xed. 解 u=x2,e*dx=dex dy, ∫x2e*dc=x2e*-2∫xe*d (再次使用分部积分法)u=x,e'd=dy x2ex-2(xex-e*)+C. 总结若被积函数是幂函数和正（余）弦函数 或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函 数为，使其降幂一次（假定幂指数是正整数）
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)