y=f几p(x】是y=f()与u=(x)的复合函数。其中u为中间变量。利 用复合函数可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数，但需注意的 是一般分解到的每个简单函数都应该是基本初等函数，或由基本初等经过 有限次四则运篁而成的函数。 例5试写出由函数y=m,W=kog。y,v=复合而成的关系式。 X 解，把=代入=bg。,再把u=g,是代入y=,即可得到 所求的复合函数为y=og。天 。1 例6指出下列函数y=log,arcsin2的复合过程 解令y=0g,M=a,t-名，所以y=g:csn是是由 x y=1og,4,u=arcsin及v=2复合而成. 三初等函数 定义8由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合且 能用一个解析式表达的函数，称为初等函数。 例如，y=cosx,y=√x都是初等函数：但y=1+x+x2+.不是初等 函数，y= x2-1x≤0也不是一个初等函数： x2+1x>0 课堂练习：习题1.1一1、2、3、4、5、 作业：习题1.1一7、8 1.2极限 1.2.1数列的极限 定义1按顺序排成的一列数a1,a2,a。.称为数列，其中a,称为此 6
6 y = f [(x)] 是 y = f (u) 与 u = (x) 的复合函数。其中 u 为中间变量。利 用复合函数可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数，但需注意的 是一般分解到的每个简单函数都应该是基本初等函数，或由基本初等经过 有限次四则运算而成的函数。 例 5 试写出由函数 y = u , u v a = log , x v 1 = 复合而成的关系式。 解：把 x v 1 = 代入 u v a = log ，再把 x u a 1 = log 代入 y = u ，即可得到 所求的复合函数为 1 loga y x = 例 6 指出下列函数 x y 2 = log 2 arcsin 的复合过程？ 解 令 y = log 2 u ， u = arcsin v ， x v 2 = ，所以 x y 2 = log 2 arcsin 是由 2 y u = log ，u = arcsin v 及 x v 2 = 复合而成。 三 初等函数 定义 8 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合且 能用一个解析式表达的函数，称为初等函数。 例如，y=cosx 2 , y = ln x 都是初等函数；但 y =1+ x + x 2 + 不是初等 函数， + − = 1 0 1 0 2 2 x x x x y 也不是一个初等函数。 课堂练习：习题 1.1-1、2、3、4、5、 作业：习题 1.1-7、8 1.2 极限 1.2.1 数列的极限 定义 1 按顺序排成的一列数 a1 ,a 2 , ，a n ， 称为数列，其中 ai 称为此
数列的第i项(il,2,.,a。称为通项。 m片 212.3 n 3)1,-1,1,1,.(，. （40122,32n2 62 n 下面我们观察，当无限增大时，这几个数列的变化趋势。 数列(1)(2)(3)(4)(5)的变化趋势是怎样的。 由上述观察可知，数列(1)(2)(5)的变化趋势有一个共同的特点，那就 是随着n的不断增大，a。无限地接近于某一个确定的常数。 定义2设有数列a。}如果当n无限增大时，a。无限地接近于某个确 定的常数A,那么就称A是数列a。当n趋于无穷大时的极限，记为 lima=A 或an→A(n→o) 此时，也称数列a,收敛，否则称数列白，}发散。由定义2，因为 1 )当无限增大时，口无限地接近于0，所以有一=0： (2)当n无限增大时，n+1无限地接近于1： n+1 (5)当n无限增大时，n无限地接近于1： 而(3》当n无限增大时，人“并不接近于一个确定的常数，所以 7
7 数列的第 i 项（i=1,2,.,n,.）， n a 称为通项。 例如 （1） ， ， ， n 1 , 4 1 3 1 , 2 1 1 , ； （2） ， ， ， n 1 n , 4 3 3 2 , 2 1 + ； （3）1，-1,1，-1，，( ) ， n 1 1 + − ； （4） 1 2 ,22 ,32 ，，n 2 ， ； （5） ，， ， n n 1 3 4 , 2 3 2 , + 。 下面我们观察，当 n 无限增大时，这几个数列的变化趋势。 数列（1）（2）（3）（4）（5）的变化趋势是怎样的。 由上述观察可知，数列（1）（2）（5）的变化趋势有一个共同的特点，那就 是随着 n 的不断增大， n a 无限地接近于某一个确定的常数。 定义 2 设有数列 an ，如果当 n 无限增大时， n a 无限地接近于某个确 定的常数 A，那么就称 A 是数列 a n 当 n 趋于无穷大时的极限，记为 n n n lim a A a A n → = → → 或 （ ） 此时，也称数列 a n 收敛，否则称数列 a n 发散。由定义 2，因为 （1）当 n 无限增大时， n 1 无限地接近于 0，所以有 n 1 lim 0 → n = ； （2）当 n 无限增大时， n 1 n + 无限地接近于 1； （5）当 n 无限增大时， n n +1 无限地接近于 1； 而（3）当 n 无限增大时， ( ) n 1 1 + − 并不接近于一个确定的常数，所以
im(1) 不存在： (④)当n无限增大时，n无限增大，所以血n 不存在，但今后为了 方便，常将其记为血=”（这将在后面进一步学习。 例1观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限。 1 1. 。 (2)-3,-3,-3,y-3,.: 3)1,3,13,2+(°.。 解1)显然，石随n的不断增大面减小，从而当n→四时.店→0 故有 =0 (2）因为am=-3,所以当n→0时，a。=-3,即a。→-3。所以 m(-3)=-3 一般地mC=C (C为常数) (3)显然，当n→o时，2+(-1)°的值交替的取1和3，并不无限 的接近于一个确定的常数，因此，m2+(←l不存在，即该数列发散。 1.2.2函数的极限 一X→0时函数的极限 根据函数定义域的不同，X→0可分为三种情形 (1)x趋向于正无穷大，记作X→+0，表示x无限增大的过程： (2)x趋向于负无穷大，记作x→-，表示x<0且x无限增大 的过程：
8 ( ) n 1 n lim 1 + → − 不存在； （4）当 n 无限增大时， 2 n 无限增大，所以 2 n lim n → 不存在，但今后为了 方便，常将其记为 = → 2 n lim n （这将在后面进一步学习）。 例 1 观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限。 （1） ，， ， n 1 3 1 , 2 1 1 , ； （2）-3，-3，-3，，−3， ； （3） ， ， ( ) ， n 1 ,3 ,1 3 , 2 + −1 。 解（1）显然， n 1 随 n 的不断增大而减小，从而当 n → 时， 0 n 1 → ， 故有 0 n 1 lim n = → ； （2）因为 n a =-3，所以当 n → 时， n a =-3，即 n a 3 → − 。所以 lim 3 -3 n − = → （ ） 一般地 lim C C n = → （C 为常数） （3）显然，当 n → 时， ( ) n 2 + −1 的值交替的取 1 和 3，并不无限 的接近于一个确定的常数，因此， ( ) n n lim 2 + −1 → 不存在，即该数列发散。 1.2.2 函数的极限 一 x → 时函数的极限 根据函数定义域的不同， x → 可分为三种情形 （1） x 趋向于正无穷大，记作 x → + ，表示 x 无限增大的过程； （2） x 趋向于负无穷大，记作 x →− ，表示 x<0 且 x 无限增大 的过程；
(3)x趋向于无穷大，记作x→0，表示X无限增大的过程。 例2观察当X→D时，函数y=】的变化趋势。 1.2.1 由函数y=的图像（如图1.21）可见，当X→切时，函数y= 趋向于一个确定的常数0，此时称常数0为函数y=当X→切时的极 限。 定义3设函数y=f(x)在a,+0)(a为某实数)内有定义，如果当自 变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限地接近于某一个确定的常数 A,则称A为当x→+o时函数f(x)的极限，记作 Iimf(x)=A或f(x)→A(x→+o) 同理，当X→时，函数y=趋向于一个确定的常数0，此时也称常 数0为函数y=当X-0时的极限。 定义4设函数y=f(x)在0，a)(a为某实数)内有定义，如果当 自变量X无限增大，且x<0时，相应的函数值f(x)无限地接近于某一个 确定的常数A,则称A为当X→-o时函数f(x)的极限，记作 mf(x)=A或f(x)→A(x→-o) 由上可见，不论X→+0还是x→-0，y=均以0为极限，此时也称 X
9 （3） x 趋向于无穷大，记作 x → ，表示 x 无限增大的过程。 例 2 观察当 x → 时，函数 x 1 y = 的变化趋势。 图 1.2.1 由函数 x 1 y = 的图像（如图 1.2.1）可见，当 x → + 时，函数 x 1 y = 趋向于一个确定的常数 0，此时称常数 0 为函数 x 1 y = 当 x → + 时的极 限。 定义 3 设函数 y = f（x） 在 (a，+ ) （a 为某实数）内有定义，如果当自 变量 x 无限增大时，相应的函数值 f（x） 无限地接近于某一个确定的常数 A，则称 A 为当 x → + 时函数 f（x） 的极限，记作 lim f x A x = →+ （ ） 或 f（x）→A（x →+） 同理，当 x →− 时，函数 x 1 y = 趋向于一个确定的常数 0，此时也称常 数 0 为函数 x 1 y = 当 x →− 时的极限。 定义 4 设函数 y = f（x） 在 (−，a) （a 为某实数）内有定义，如果当 自变量 x 无限增大，且 x<0 时，相应的函数值 f（x） 无限地接近于某一个 确定的常数 A，则称 A 为当 x →− 时函数 f（x） 的极限，记作 lim f x A x = →− （ ） 或 f（x）→A（x →−） 由上可见，不论 x → + 还是 x →−， x 1 y = 均以 0 为极限，此时也称 x y o x y 1 =
0为番数y=当x→口时的极限。 定义5设函数y=「(x)在风>b(b为某正实数)时有定义，如果当自 变量x无限增大时，相应的函数值「(x)无限地接近于某一个确定的常数 A,则称A为当X→o时函数f(x)的极限，记作 limf(x)=A或f(x)→A(x→o) 例3通过分析下列函数的变化趋势，求函数的极限。 afx)-x→-w）2fx)=农x→+m） (3)f(x)=2(x→-0)(4)f(x)=(x→+o) 解(1当X→0时，×→，从而是无限技近于0，故血京=0： (2)当x+0时，√X+1→_1一，从而 】一无限接近于1， +1 故 人 (3、4)横线部分由学生完成 二X→X。时函数的极限 定义集合x-d<8}称为以点a为中心，6为半径的邻域，记作 U(a,5) 即 Ua8)={lx-ak8}={a-6<x<a+6}=(a-6,a+8) 在数轴上该邻域表示：以点a为中心，长度为26的开区间，如图1.2.2 所示 ● ● a-8 a a+8
10 0 为函数 x 1 y = 当 x → 时的极限。 定义 5 设函数 y = f（x） 在 x b （b 为某正实数）时有定义，如果当自 变量 x 无限增大时，相应的函数值 f（x） 无限地接近于某一个确定的常数 A，则称 A 为当 x → 时函数 f（x） 的极限，记作 lim f x A x = → （ ） 或 f（x）→A（x →） 例 3 通过分析下列函数的变化趋势，求函数的极限。 （1） （ ）= （x → −） x 1 f x 2 （2） （ ） （ → +） + = x x 1 1 f x （3） f（x）= 2（x x → −） （4） f（x）= lnx（x →+） 解（1）当 x →− 时， → + 2 x ，从而 2 x 1 无限接近于 0，故 0 x 1 lim 2 x = →− ； （2）当 x → + 时， x +1→ _1_ ,从而 x 1 1 + 无限接近于 1， 故 _1_ x 1 1 lim x = + →+ ； （3、4）横线部分由学生完成 二 x → x0 时函数的极限 定义 集合 x x − a 称为以点 a 为中心， 为半径的邻域，记作 U(a, ) 即 U(a, ) = x | x − a | = x a − x a += (a −,a + ) 在数轴上该邻域表示：以点 a 为中心，长度为 2 的开区间，如图 1.2.2 所示 a- a a+