2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 arcsin√x 又如 dx=2farcsin vxd(arcsin vx X ( arcsin√x)2+C 例5.10 (2+cos x)sin x d (cos x) (2+coS x)sinx d(cos x+((2-cos x) COSX 3(2+coS x) 1-cos x In 2+cos x-In 1+cosx +=In 1-cos x +C. 2x+2 例51 x-+1)(x =2( Ddx=lr (x-1) x+ x2+1 xcosx-sinx 例5.12 d x- six +c x (2)第二换元法 若∫f(():q()ldt=F(t)+C,且x=(1)有 反函数1=o1(x),则∫f(x)akx=F(q-(x)+C 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 又如 dx x x x ∫ (1− ) arcsin = 2∫ arcsin xd(arcsin x) = x + C 2 (arcsin ) 例 5.10 ∫ + x x dx (2 cos )sin = ∫ + − x x d x 2 (2 cos )sin (cos ) = ) 1 cos (2 cos ) (cos ) (2 cos ) (cos ) ( 3 1 2 ∫ − − ∫ + + − − x x d x x d x = ln |1 cos | 2 1 ln | 2 cos | 3 1 + x − + x + ln |1− cos x | +C 6 1 。 例 5.11 ∫ + − + dx x x x ( 1)( 1) 2 2 2 ∫ + − − = dx x x x ) 1 ( 1) 1 2 ( 2 ＝ C x x + + − 1 ( 1) ln 2 2 。 例 5.12 dx x x x x ∫ − 2 cos sin C x x = + sin (2) 第二换元法 若 ∫ f ′(ϕ(t))⋅ϕ′(t)dt = F(t) + C, 且 x = ϕ(t) 有 反函数 ( ) 1 t x − = ϕ , 则 ∫ f x dx = F x + C − ( ) ( ( )) 1 ϕ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 例513Va dx(a>o) 令x= asin t(0≤t≤),ax= a cos tdt Jval-x'dx=acostacos dt =a2「cos2tt 2.1+ cos 2t sin zt C lt t+ +c arcsin-+x√a2-x2+C 还有∫√a2+x2ax,(a>0),令x= a tan t ∫√x2-a2ax,令x= a sec t dx 例5.1计算不定积分 解](方法1)令X=Sint,dx= cos tdt, dx cos t x sint- cost 1. cost+ sint coSt -sin t at 2 Sint-cost sin t- cos t nx-√1-x arcsinx +C (方法2) 水木艾迪考研培 7-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 5.13 ∫ a − x dx 2 2 (a > 0) 令 ) 2 sin ,(0 π x = a t ≤ t ≤ , dx = a costdt ∫ = ⋅ ∫ a − x dx acost acosdt 2 2 = ∫ a tdt 2 2 cos C t t a dt t a ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + + = 2 sin 2 2 2 1 cos2 2 2 x a x C a a x = + − + 2 2 2 2 1 arcsin 2 还有 ∫ a + x dx 2 2 ， (a > 0) ，令 x = a tan t 。 ∫ x − a dx 2 2 ，令 x = asect 。 例 5.14 计算不定积分 ∫ − − 2 x 1 x dx . [解] (方法 1)令 x = sin t,dx = costdt , dt t t t x x dx ∫ − ∫ = − − sin cos cos 1 2 x x x C dt t t t t dt t t t t = − − − + ∫ − − ∫ + − + = arcsin 2 1 ln 1 2 1 ) sin cos cos sin sin cos cos sin ( 2 1 2 (方法 2) 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785