82标准形教学目的记忆标准形的术语，掌握合同变换的概念，熟练掌握配方法，合同变换法化二次型为标准形重点将二次型化为标准形难点合同变换法教学过程一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型(1)dx+d,x++.+dx.定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，dx+dx+..+d,x?(d)0..S0d..0X2(x,x2xY...(o 0 .. d,xn)反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项。按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使C'AC成对角矩阵二次型f(x,x2",x）经过非退化线性替换所变成的平方和称为
§2 标准形 教学目的 记忆标准形的术语，掌握合同变换的概念，熟练掌握配方法，合 同变换法化二次型为标准形. 重 点 将二次型化为标准形. 难 点 合同变换法. 教学过程 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和 （1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项。按上一节的讨论，经过非 退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言， 定理 1 可以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为
f(x,x2",x)的标准形例化二次型f(x,x2,,x,)=2xx+2xxg-6xx3为标准形二、配方法1.au+0,这时的变量替换为Eai'ayyj,X =yIj=2X2 = y2,xn=yn令-ai'a2-aiiain...010-Cr =..........LO01...则上述变量替换相应于合同变换A-→C AC为计算c'AC，可令amaα=(ai2,,am),A =aunan2于是A和C,可写成分块矩阵au-a..oA=OA这里α为α的转置，E,-为n-1级单位矩阵.这样
( , , , ) 1 2 n f x x x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11 这时的变量替换为 = = = −= − . , , 2 2 2 1 1 1 1 11 n n n j j j x y x y x y a a y 令 − − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 12 11 1 11 1 a a a a n C , 则上述变量替换相应于合同变换 A C1 AC1 → 为计算 C1 AC1 ，可令 ( ) = = n nn n n a a a a a a A 2 22 2 12 1 1 , , , . 于是 A 和 C1 可写成分块矩阵 − = = − − 1 1 11 1 1 11 1 , O En a C A a A , 这里 为 的转置， En−1 为 n −1 级单位矩阵.这样