同样可求出A对应于特征值入2=-2，几，=4的单位 正交特征向量分别为 -引7月 令 2 2=01Y2Y3)= 31323 32-32-3 则Q为正交矩阵正交变换x=Qy即 x1= 1+ 3山2+ X2 3 1+ y2一 23 V33 1 X3 =一 J1+ se 便可将二次型∫化成标准形y子一23+4y 13
13 同样可求出 对应于特征值 的单位 正交特征向量分别为 A 2 = −2,3 = 4 ; 3 1 , 3 2 , 3 2 ; 3 2 , 3 2 , 3 1 2 3 = − γ = γ 令 − = = − 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 ( , , ) 1 2 3 Q γ γ γ 则 Q 为正交矩阵．正交变换 即 便可将二次型 化成标准形 ． x = Qy = − + + = + − = + + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 3 1 3 2 3 2 , 3 2 3 2 3 1 , 3 2 3 1 3 2 x y y y x y y y x y y y 2 3 2 2 2 f y1 − 2y + 4y
例3试求实二次型 f(x1,x2,x3)=6x1x2-8x2x3 的标准形.不要求给出所用的正交线性变换 解实二次型∫的矩阵为 0 3 01 A= 3 0 -4 -4 0 据题意，只需求出f的标准形，不要求给出所用的正交变换.因此，只要求出A 的特征值就可以了.由 -3 0 |E-A= -3 4=2(22-25) 0 4元 知A的特征值为元1=5，九2=-5，元3=0 于是二次型f的标准形为 5y-5y☑ 14
14 例3 试求实二次型 的标准形．不要求给出所用的正交线性变换． 1 2 3 6 1 2 8 2 3 f (x , x , x ) = x x − x x 解 实二次型 f 的矩阵为 − = − 0 4 0 3 0 4 0 3 0 A 据题意，只需求出 的标准形，不要求给出所用的正交变换．因此，只要求出 的特征值就可以了． f A 由 知 的特征值为 ( 25) 0 4 3 4 3 0 | | 2 − = − − − = E A A 1 = 5, 2 = −5, 3 = 0 于是二次型f 的标准形为 2 2 2 5y1 −5y
第三节用配方法化二次型为标准形 如果次型f(xx,,x）的系数及变量X2x22,Xn都限定在某个数域 F上，则说f是数域F上的二次型.考虑该二次型的化简，在通常情况下，就是 要找数域F上的可逆线性变换x=Py(其中P为数域F上的n阶可逆矩阵)把二次型 化为（数域F上的）标准形.解决这一问题的简便方法之一就是配方法.对此，我们 通过实例加以说明. 例1用可逆线性变换化二次型 f(x1,x2,x3)=x2+3x+9x3+2xx2+2xx3+10x2x 为标准形 解由于∫中？项系数非零，故可集中含，的项配方，得 f=x+2x(x2+x3)+(x2+x3)2-(x2+x)2+3x3+10x2x3+9x =(x1+x2+x3)2+2x3+8x2x3+8x, 针对含有的项配方后，余下各项中不再含有x并且x项的系数非零，又可针对 所有含x的项配方，得 f=(x1+x2+x3)2+2(x2+2x3)2 16
16 第三节 用配方法化二次型为标准形 如果次型 的系数及变量 都限定在某个数域 F上，则说 是数域F上的二次型． ( , , , ) x1 x2 xn f n x , x , , x 1 2 f 考虑该二次型的化简，在通常情况下，就是 要找数域F上的可逆线性变换 (其中 为数域F上的 阶可逆矩阵)把二次型 化为(数域F上的)标准形．解决这一问题的简便方法之一就是配方法．对此，我们 通过实例加以说明． x = Py P n f 例1 用可逆线性变换化二次型 为标准形． 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f (x , x , x ) = x +3x +9x + 2x x + 2x x +10x x 解 由于 f 中 项系数非零，故可集中含有 的项配方，得 2 1 x 1 x ( ) 2 8 8 , 2 ( ) ( ) ( ) 3 10 9 2 2 3 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x = + + + + + = + + + + − + + + + 针对含有 的项配方后，余下各项中不再含有 并且 项的系数非零，又可针对 所有含 的项配方，得 ． 1 x 1 x 2 2 x 2 2 x 2 2 3 2 1 2 3 f = (x + x + x ) + 2(x + 2x )
令 y1=x1+X2+X3, x1=y-y2+y3, y2= x2+2x3, 即 x2= y2-2y3, (6) y3= X3? x3= y3, 这一可逆线性变换便可将二次型∫化为标准形 y?+2y2 上面标准形中含两个平方项，这意味着三元二次型中y?项的系数为零.这使我 们想到，为使(6)成为两组变量x1,x2,x,与y,y2,y3间的可逆线性变换，(6)中第三 式y3=x是必要的，但不唯一.只要所选的线性关系式y3=ax,+a2x2+a,x3与 前两式搭配起来，能保证变换矩阵可逆也就可以了. 例2化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1X2+2x1X3-6x2x3 为标准形，并求出所用的可逆线性变换。 17
17 令 即 (6) = = + = + + , 2 , , 3 3 2 2 3 1 1 2 3 y x y x x y x x x = = − = − + , 2 , , 3 3 2 2 3 1 1 2 3 x y x y y x y y y 这一可逆线性变换便可将二次型 化为标准形 ． f 2 2 2 y1 + 2y 上面标准形中含两个平方项，这意味着三元二次型中 项的系数为零．这使我 们想到，为使(6)成为两组变量 与 间的可逆线性变换，(6)中第三 式 是必要的, 但不唯一． 2 3 y 1 2 3 x , x , x 1 2 3 y , y , y 3 3 y = x 只要所选的线性关系式 与 前两式搭配起来，能保证变换矩阵可逆也就可以了． 3 1 1 2 2 3 3 y = a x + a x + a x 例2 化二次型 为标准形，并求出所用的可逆线性变换． 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x