吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 二次型与对称矩阵

应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同.但是，对实方阵A,当合同因子是正交矩阵 Q时，由于Q'=Q,这时，合同变换Q'AQ与相似变换QAQ完全一致 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x=Py,使已知n元二次型x'Ax化为标准形 by+b2y+…+bny月 容易理解，上述问题与寻求合同因子P使二次型矩阵4经合同变 换P'AP化为对角矩阵 B 的问题是一致的. 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩， 于是，上面的b,b2,…,bn中非零数的个数r恰是二次型的秩

7 二次型理论的基本课题之一，就是寻求适当的可逆线性变换 x = Py ,使已知 n 元二次型 xAx 化为标准形 2 2 2 2 2 1 1 n n b y +b y ++b y 容易理解，上述问题与寻求合同因子 使二次型矩阵 经合同变 换 化为对角矩阵 的问题是一致的． P A PAP             = n b b b  2 1 B 因为合同变换也是可逆线性变换，所以它不改变二次型的秩． 于是，上面的 b1 ,b2 ,  ,bn 中非零数的个数 r 恰是二次型的秩． 应当注意，合同与相似是两个不同的概念.合同的矩阵未必相似， 相似的矩阵也未必合同. 但是，对实方阵A，当合同因子是正交矩阵 Q时，由于 这时,合同变换 与相似变换 完全一致. 1 Q Q , −  = Q AQ 1 Q AQ −

第二节用正交变换化实二次型为标准形 最常用的二次型是实二次型，本节将利用上一章关于实对称矩阵 相似对角化的理论和结果，给出求实二次型标准形的一种方法 设有实二次型f=x'Ax,其中x=(x,x2,,x)/,A为n阶实对称 矩阵. 据第四章定理10，必有n阶正交矩阵Q,使 'A0=040=M= 于是可得下面的定理1.其中涉及到的正交变换x=Qy,是指变换矩 阵Q为正交矩阵的线性变换 定理1n元实二次型f=x'Ax可经正交变换x=Qy化为标准形 +2y2+…+元y7, 其中入，22，…，元n恰是A的全部特征值. 9

9 设有实二次型 ，其中 ， 为 阶实对称 矩阵． f = xAx ( , , , ) 1 2 =  n x x x  x A n 据第四章定理10，必有 阶正交矩阵 ，使 ， n Q             =  = = − n    2 1 1 Q AQ Q AQ Λ 于是可得下面的定理1．其中涉及到的正交变换 ，是指变换矩 阵 为正交矩阵的线性变换． x = Qy Q 定理1 元实二次型 可经正交变换 化为标准形 , 其中 恰是 的全部特征值． n f = xAx x = Qy 2 2 2 2 1 1 n n  y +  y ++  y   n , , , 1 2  A 第二节 用正交变换化实二次型为标准形 最常用的二次型是实二次型, 本节将利用上一章关于实对称矩阵 相似对角化的理论和结果,给出求实二次型标准形的一种方法

例1用正交变换化实二次型 f,2,,x4)=2x32+2x-2xx4-2x3+2x+2x, 为标准形，并求出所用的正交变换 解二次型∫的矩阵为 0 1 -1 1 0 -1 A= 1 -10 2 6 √3 1 -11 0 6 在第四章第四节例1中，已求出正交矩阵= 2 0 6630 6363662 21121212 0 使得 10

10 解 二次型 f 的矩阵为             − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A 在第四章第四节例1中，已求出正交矩阵                       − − − − = 2 1 2 3 0 0 2 1 6 3 3 6 0 2 1 6 3 6 6 2 2 2 1 6 3 6 6 2 2 Q 例1 用正交变换化实二次型 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 f (x , x , x , x ) = 2x x + 2x x − 2x x − 2x x + 2x x + 2x x 为标准形，并求出所用的正交变换． 使得  ．            − =  = − 3 1 1 1 1 Q AQ Q AQ

于是，正交变换x=Qy即 6 2 当+ 6 当+ y43 6 X2= 2出、 y2+ 6 X3= 3 62y 1 X- 2+ 便可将二次型∫化为标准形 +y+-3 11

11 于是，正交变换 即 便可将二次型 化为标准形 x = Qy              = + = + − = − + − = + − + 4 3 4 3 2 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 , 2 1 6 3 3 6 , 2 1 6 3 6 6 2 2 , 2 1 6 3 6 6 2 2 x y y x y y y x y y y y x y y y y f 2 2 2 2 1 2 3 4 y y y y ++−3

例2用正交变换化实二次型 f(x1x2:x3)=2x+x2-4xx2-4x2X3 为标准形，并求所用的正交变换， 解二次型∫的矩阵为 「2-20 A=-21-2 L0-20 由 2-2 2 0 |E-A月 2 元-12=(2-10(1+2)(2-4) 0 2 得A的特征值为 21=1,12=-2,23=4 求出对A应于特征值=1的特征向量 a1=(2,1,-2)1 单位化得A对应于特征值入=1的单位正交特征向量 12

12 例2 用正交变换化实二次型 为标准形，并求所用的正交变换． 1 2 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x − 4x x − 4x x 解 二次型 f 的矩阵为           − − − − = 0 2 0 2 1 2 2 2 0 A 由 ， 得 的特征值为 ． ( 1)( 2)( 4) 0 2 2 1 2 2 2 0 | | − = − + − − − =       E A A 1 =1, 2 = −2, 3 = 4 求出对 应于特征值 的特征向量 ， A 1 =1 (2,1, 2) 1 α = −  单位化得 对应于特征值 的单位正交特征向量 ； A 1 =1        = − 3 2 , 3 1 , 3 2 1 γ