第玉节 第八章 曲面及其方程 曲面方程的概念 二、 旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 第八章
定义1. 如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程， 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(X.V=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时！ 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)】
定义1 F(x, y,z) 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )
例1.求动点到定点M0(x0,0,二0)距离为R的轨迹 方程。 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MM=R 即 V(x-x)》2+(y-o)2+(2-o2=R 故所求方程为 (x-x)2+(y-0)2+(2-20)2-R2 特别，当M在原点时，球面方程为 x2+y2+z2=R2 R2-x2-y2 表示上半球面
故所求方程为 例1 求动点到定点 M (x, y,z), ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 M0M R 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M 0 2 2 2 z R x y 表示上半球面 . x x y y z z R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x x ) ( y y ) (z z ) R 2 2 2 2 x y z R
例2.研究方程 x2+y2+z2-2x+4y=0 表示怎样的曲面. 解：配方得 (x-1)2+(0y+2)2+=2=5 此方程表示： 球心为Mo(1,-2,0), 半径为5的球面. 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+F+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 个球面，或点，或虚轨迹
例2 研究方程 2 4 0 2 2 2 x y z x y 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 表示怎样的曲面. 半径为 的球面. ( ) 0 2 2 2 A x y z Dx Ey Fz G 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x y z
二、旋转曲面 定义2 一 条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一 周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 例如：
定义2 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一 周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴. 例如 :一条平面曲线