类似地,可定义函数w=≠(z)在z处的伸 缩率 f(=+△)-f(z) lim f(z+△)-f(=) A→0|(z+△)-z|A→0 △ 当w=fz)解析时,点z处伸缩率=f(=) Note:若f(z)=Z,∫(z)不存在,而伸缩率 lin/+△ z+△z-z
6 类似地，可定义函数w=f(z)在z处的伸 缩率 当w=f(z)解析时，点z处伸缩率 Note: 若 不存在，而伸缩率 | ( ) ( ) lim | | ( ) | | ( ) ( )| lim 0 0 z f z z f z z z z f z z f z z z D + D − = + D − + D − D → D → =| f (z)| 1 | | | | lim | | | | lim 0 0 D D = + D − + D − D → D → z z z z z z z z z z f (z) = Z, f (z)
1解析函数的导数的几何意义设函数=(2)在区域D内 解析,z为D内的一点,且f(=0)≠0.又设C为平面内通过点 的一条有向光滑曲线:=(1,xKB,且z0=2(z()1=0, ∝x<1<B映射w=f()将C映射成平面内通过点=0的对应点 1(0)的一条有向光滑曲线厂:=/[z(,∝≤≤B f(zo=lim-o Aw=lim △we △w\( A>0△zxA>oAz A→0△z f(=o)=lim Argf(=o)=lim(o △z △z→>0 O
7 1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f (z)在区域D内 解析, z0为D内的一点, 且f '(z0 )0. 又设C为z平面内通过点 z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), atb,且z0=z(t0 ), z '(t0 )0, a<t0<b. 映射w=f (z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点 w0=f (z0 )的一条有向光滑曲线G : w=f [z(t)], atb . ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 e lim lim lim lim e e i i i z z z x z w w w w w f z z z z z z − → D → D→ D → − D D D = = = = − D D D O x y O u v z0 P0 r z Dz P C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Dw 0 0 ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 lim , lim z z w f z Arg f z z D → D → D = = − = − D
根据复合函数求导法,有(t)/(a)z(t0 因此,在/上点形处也有切线存在,且切线正向与轴正向 的夹角是Argw(t)=Argf(a)+Argz(to BP Argf(o= Argw'(to)-Arg z'(to)=-Bo 若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹 角理解为曲线C经过1=/f(z映射后在0处的转动角,则 1)导数f(0)≠0的辐角Argf(z0是曲线C经过=f(z)映射 后在z处的转动角;
8 根据复合函数求导法, 有w '(t0 )=f '(z0 )z '(t0 )0. 因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向 的夹角是Arg w '(t0 )=Arg f '(z0 )+Arg z '(t0 ). 若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹 角理解为曲线C经过w=f (z)映射后在z0处的转动角, 则 1)导数f '(z0 )0的辐角Arg f '(z0 )是曲线C经过w=f (z)映射 后在z0处的转动角; O x y O u v z0 P0 r z Dz P C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Dw 0 0 0 0 即Arg f '(z = − . 0 )= Arg w '(t0 )−Arg z '(t0 )
2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以 这种映射具有转动角的不变性 O O 通过点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都 具有这样的性质,即映射到平面的曲线在w点都转动了 个角度Agf(a)
9 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以 这种映射具有转动角的不变性. 通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都 具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了 一个角度Arg f '(z0 ). O x y O u v (z) (w) z0 w0
O 相交于点二的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小 和方向上都等同于经f()映射后C1与C2对应的曲线F与 2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方 向不变的性质这种性质称为保角性 0.→日-8
10 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小 和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与 G2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方 向不变的性质.这种性质称为保角性. y a O x O u v (z) (w) z0 w0 C1 C2 G1 G2 ( a 1 1 2 2 2 1 2 1 − = − − = − = )