和e 设单位圆内接正n边形的半周长为L,则L=n 180 数列{Ln} 应该收敛于该圆的半周长,即圆周率π。现在来严格证明{Ln}的极限 存在
和 e 设单位圆内接正n 边形的半周长为 Ln ，则 L n n n = sin o 180 。数列{ } L n 应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 。现在来严格证明{ } L n 的极限 存在
和 设单位圆内接正n边形的半周长为L,则Ln=ns 180° 数列{Ln} 应该收敛于该圆的半周长,即圆周率π。现在来严格证明{Ln}的极限 存在 例245数列{nsn 180 收敛。 证令t 180 则当n≥3时,m≤45° n(n+1 tan n tan t tan nt 1)t+ta ≥tan(n-1)t+tant≥…≥ n tan t, 1-tan(n-t tan t 于是 sin(n+1)*= sinn cost +cosnt sint tan t n+1 =sin nt cost 1+ sin nt tan nt
例2.4.5 数列 n n o 180 sin 收敛。 证 令 t n n = + 180 1 o ( ) ，则当 n 3时， nt 45o。 tan nt = − − − + n t t n t t 1 tan( 1) tan tan( 1) tan tan(n −1)t + tan t n tan t ， 于是 sin(n +1)t = sinnt cost + cosntsint = + nt t nt t tan tan sin cos 1 n + n nt 1 sin ， 和 e 设单位圆内接正n 边形的半周长为 Ln ，则 L n n n = sin o 180 。数列{ } L n 应该收敛于该圆的半周长，即圆周率 。现在来严格证明{ } L n 的极限 存在
所以,当n≥3时 180 nsin ≤(n+1)sin h+1 n+1° 另一方面,单位圆内接正n边形的面积 180 180 s=nsin coS 因此当n≥3时, 180 4 L=nsin 180°cos60° COS
所以，当 n 3 时， L n n n = sin o 180 + + = + ( )sin o n n 1 Ln 180 1 1。 另一方面，单位圆内接正n 边形的面积 S n n n n = sin cos o o 180 180 4， 因此当n 3时， L n n n = sin o 180 4 180 cos o n = 4 60 8 cos o
所以,当n≥3时, 180 180° nsin ≤(n+1)sin h+1 n+1° 另一方面,单位圆内接正n边形的面积 180 180 s=nsin coS 因此当n≥3时, 180 4 L =nsin 180°cos60° COS 综上所述,数列{Ln}单调增加且有上界,因而收敛。将这个极 限用希腊字母π来记,就有 180° lim nsin
所以，当 n 3 时， L n n n = sin o 180 + + = + ( )sin o n n 1 Ln 180 1 1。 另一方面，单位圆内接正n 边形的面积 S n n n n = sin cos o o 180 180 4， 因此当n 3时， L n n n = sin o 180 4 180 cos o n = 4 60 8 cos o 。 综上所述，数列{ Ln }单调增加且有上界，因而收敛。将这个极 限用希腊字母π来记，就有lim n→ π 180 sin o = n n
注有了π的定义,就可以定义角度的弧度制。 由于单位圆的半周长为π,就把半个圆周所对的圆心角(即180°) 的弧度定义为π,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说, 个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。 设单位圆的内接正n边形的面积为S,则Sn的极限就是单位圆的 面积。由于 180°180° lim s=lim nsin COS 三, 可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。 在弧度制下,上例中的极限式又可以写成 sin( T/n lm
注 有了 的定义，就可以定义角度的弧度制。 由于单位圆的半周长为 ，就把半个圆周所对的圆心角（即 o 180 ） 的弧度定义为，其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说， 一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。 设单位圆的内接正n 边形的面积为Sn，则Sn 的极限就是单位圆的 面积。由于 π 180 cos 180 lim lim sin o o = = → → n n S n n n n ， 可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。 在弧度制下，上例中的极限式又可以写成 lim n→ sin( ) n n = 1