例24.2设0<x1<1,xm1=xn(1-xn),n=12,3,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <X< 由xn1=xn(1-xn)(n=1,2…),可得 <0, 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{xn}收敛 设lmxn=a,在等式xn1=xn(1-xn)两边同时求极限,得到方程 a=a(1-a),解得a=0。于是得到: lin 0 n→0
例2.4.2 设 0 x1 1, xn+1 = x x n n (1− ) ,n = 1,2,3, 。证明{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n N ， 0 xn 1。 由 xn+1 = x x n n (1− ) ( n = 1,2, )，可得 xn+1 - x n = 0 2 − xn ， 即{ x n }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛。 设 lim n→ xn = a ，在等式 xn+1 = x x n n (1− ) 两边同时求极限，得到方程 a = a(1− a)，解得a = 0。于是得到： lim n→ xn = 0
应用 Stolz定理 lim(nx, )=lim 1 lin Im m X-X n+1 xu 换言之,不管0<x1<1如何选取,当n充分大时,无穷小量{xn}的 变化规律与无穷小量{}愈来愈趋于一致,在许多场合,{xn}可以 用{}来代替。这两个无穷小量称为是等价的
应用Stolz定理： lim n→ (nx ) n = lim n→ n xn 1 = lim n→ 1 1 1 1 x x n+ n − = lim n→ x x x x n n n n + − + 1 1 = lim n→ x x x n n n 2 2 1 1 ( − ) = 。 换言之，不管0 x1 1如何选取，当n 充分大时，无穷小量{ }n x 的 变化规律与无穷小量 n 1 愈来愈趋于一致，在许多场合，{ }n x 可以 用 n 1 来代替。这两个无穷小量称为是等价的
例24.3设x1=√2,xn1=3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有0<x1<3。设0<xk<3,则0<x1=3+2x<3,由数 学归纳法,可知对一切n,成立 0<X,<3。 由于xmx=3+2x,-x=3-x1+xn)>0,数列{x单调增加且 3+2x.+x 有上界,由定理2.4.1可知{xn}收敛
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3+ 2xn , n = 1,2,3, 。证明数列{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 首先有0 x1 3。设0 xk 3，则0 k+1 x = 3 + 2xk 3，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立0 xn 3。 由于 xn+1 - x n = 3+ 2xn - x n = 0 3 2 (3 )(1 ) + + − + n n n n x x x x ，数列{ x n }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ x n }收敛
例24.3设x1=√2,xn1=3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有0<x1<3。设0<xk<3,则0<x1=3+2x<3,由数 学归纳法,可知对一切n,成立 0<X,<3。 由于xmx=3+2x,-x=3-x1+xn)>0,数列{x单调增加且 3+2x.+x 有上界,由定理2.4.1可知{xn}收敛 设imxn=a,对xn1=√3+2x两边求极限,得到a=√3+2a,解 此方程,得到a=3,即 lim 3
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3+ 2xn , n = 1,2,3, 。证明数列{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 首先有0 x1 3。设0 xk 3，则0 k+1 x = 3 + 2xk 3，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立0 xn 3。 由于 xn+1 - x n = 3+ 2xn - x n = 0 3 2 (3 )(1 ) + + − + n n n n x x x x ，数列{ x n }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ x n }收敛。 设lim n→ xn = a ，对 xn+1 = 3+ 2xn 两边求极限，得到 a = 3+ 2a ，解 此方程，得到a = 3，即 lim n→ xn = 3
例2.4.4“ Fibonacci数列”与兔群增长率: 设一对刚出生的小兔要经过两个季度,即经过成长期后到达成熟 期,才能再产小兔,且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下,求兔群逐年增长率的变化趋势 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔,则各季兔对总数见下表 季度小兔对数成长期兔对数成熟期兔对数「兔对总和 1234567 0101 235 0011235 1123581
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率： 设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟 期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表： 季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 3 1 0 1 2 4 1 1 1 3 5 2 1 2 5 6 3 2 3 8 7 5 3 5 13