当0<a<1,由极限的除法运算,得到 lim a=lim m t→0+ t→0+ 若t→>0-,则令u=-t,于是 lim a= lim t→0 l→>0+a 综合起来,得到ima=1,从而有 lim a'r=a t→0 x→)x
当0 1 a ，由极限的除法运算，得到 lim t→0+ a t = lim t→0+ t a 1 1 0 1/ lim t→ + = 1 1 t a = ； 若t → −0 ，则令u t = − ，于是lim t→0− t a = lim u→0+ 1 1 u a = 。 综合起来，得到lim t→0 1 t a = ，从而有 lim x→x0 a x =a x0
连续函数的四则运算 设limf(x)=f(x),limg(x)=g(x0),则 x→>x0 (Ⅰ)lim(af(x)+Bg(x)af(x0)+g(x)(a,B是常数); x→x (I) lim(f(x)g(x))=f(xo)g(xo); x→x III)lim f(x) f(xo) so g(x) g(o) (g(x)) 由上述运算法则,设有有限个函数在某区间连续,则它们之间进 行有限次加、减、乘、除四则运算,所得到的函数在该区间除去使分 母为零的点后余下的范围连续
连续函数的四则运算 设 lim x→x0 f (x) = f (x ) 0 ， lim x→x0 g(x)= g(x ) 0 ，则 (Ⅰ) lim x→x0 ( f (x) + g(x))= f (x ) 0 + g(x ) 0 ( ， 是常数)； (Ⅱ) lim x→x0 ( f (x) g(x))= f (x ) 0 g(x ) 0 ； (Ⅲ) lim x→x0 f x g x ( ) ( ) = f x g x ( ) ( ) 0 0 ( 0 g x( ) 0 )。 由上述运算法则，设有有限个函数在某区间连续，则它们之间进 行有限次加、减、乘、除四则运算，所得到的函数在该区间除去使分 母为零的点后余下的范围连续
例3.2.5对于常数函数f(x)=c与恒等函数g(x)=x,容易从定义 出发证明它们的连续性,然后由上述的连续函数的四则运算规则,可 以得到 (I)任意多项式p(x)=anx+an1x4+…+ax+a在(-∞,+∞)上连续; Ⅱ)任意有理函数Q(x)=ax+am1+…+axa在其定义域上 x+b +b.x+ b 连续,即Q(x)在(-∞,+∞)去掉分母bnxm+bn1xm1++bx+b的零点(至多 m个点)的范围连续
例3.2.5 对于常数函数 f x c ( ) = 与恒等函数 g x x ( ) = ，容易从定义 出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可 以得到 (Ⅰ) 任意多项式 1 1 1 0 ( ) n n n n n p x a x a x a x a − = + + + + − 在(−,+) 上连续； (Ⅱ) 任意有理函数 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) n n n n m m m m a x a x a x a Q x b x b x b x b − − − − + + + + = + + + + 在其定义域上 连续，即Q(x) 在(−,+) 去掉分母bm x b x b x b m m m + − + + + − 1 1 1 0的零点(至多 m 个点)的范围连续
例3.2.5对于常数函数f(x)=c与恒等函数g(x)=x,容易从定义 出发证明它们的连续性,然后由上述的连续函数的四则运算规则,可 以得到 (I)任意多项式p(x)=anx+an1x4+…+ax+a在(-∞,+∞)上连续; Ⅱ)任意有理函数Q(x)=ax+am1+…+axa在其定义域上 +b.x+ b 连续,即Q(x)在(-∞,+∞)去掉分母bnxm+bn1xm1++bx+b的零点(至多 m个点)的范围连续。 例3.2.6证明了三角函数sinx与cosx的连续性,由连续函数的 四则运算规则,可知tanx SIn x seCx= 在其定义域 COSx COSx {x1x∈R,x≠km+x,k∈Z}上连续;cotx=0sx,cx=1在其定义 sInx 域{x|x∈R,x≠km,k∈Z}上连续
例3.2.6 证明了三角函数 sin x 与 cos x 的连续性，由连续函数的 四则运算规则，可知tan x = sin cos x x ， 1 sec cos x x = 在其定义域 { π | π+ 2 x x x k k R Z ， ， }上连续；cot x= cos sin x x ， 1 csc sin x x = 在其定义 域{ x x x k k | R Z ， π， }上连续。 例3.2.5 对于常数函数 f x c ( ) = 与恒等函数 g x x ( ) = ，容易从定义 出发证明它们的连续性，然后由上述的连续函数的四则运算规则，可 以得到 (Ⅰ) 任意多项式 1 1 1 0 ( ) n n n n n p x a x a x a x a − = + + + + − 在(−,+) 上连续； (Ⅱ) 任意有理函数 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) n n n n m m m m a x a x a x a Q x b x b x b x b − − − − + + + + = + + + + 在其定义域上 连续，即Q(x) 在(−,+) 去掉分母bm x b x b x b m m m + − + + + − 1 1 1 0的零点(至多 m 个点)的范围连续